专题训练三 巧作辅助线构造全等三角形 作平行线构造全等三角形 1.(2025张家口桥东区期中)如图,过△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于点E,Q为BC延长线上的一点,连接PQ交AC于点D,已知AP=CQ,∠A=∠ACB. 求证:DP=DQ. 作垂线构造全等三角形 2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABD=∠CBE=90°,BA=BD,BC=BE,延长CB交DE于点F. 求证:EF=DF. 用“截长法”或“补短法”构造全等三角形 3.如图,AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线,点E在AD上. 求证:BC=AB+CD. 【详解答案】 1.证明:过点P作PF∥CQ交AC于点F,如图所示. ∴∠FPD=∠Q,∠AFP=∠ACB, ∵∠A=∠ACB, ∴∠A=∠AFP, 在△APE与△FPE中, ∴△APE≌△FPE(AAS), ∴AP=PF, ∵AP=CQ, ∴PF=CQ, 在△PFD与△QCD中, ∴△PFD≌△QCD(AAS), ∴DP=DQ. 2.证明:如图,过点D作DG⊥CF的延长线于点G, ∵∠ABC+∠DBG=180°-∠ABD=90°,∠BDG+∠DBG=180°-∠BGD=90°, ∴∠ABC=∠BDG. 又∵∠ACB=∠BGD=90°,BA=BD, ∴△ABC≌△BDG(AAS). ∴BC=DG, 又∵BC=BE,∴BE=DG, 又∵∠EBF=∠DGF=90°, ∠EFB=∠DFG, ∴△BFE≌△GFD(AAS), ∴EF=DF. 3.证明:如图,在BC上截取BF=BA,连接EF,∵BE,CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线, ∴∠1=∠2,∠3=∠4. 在△ABE和△FBE中, ∴△ABE≌△FBE(SAS), ∴∠A=∠5. ∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°, ∴∠5+∠D=180°. ∵∠5+∠6=180°,∴∠6=∠D. 在△CDE和△CFE中, ∴△CDE≌△CFE(AAS), ∴CF=CD, ∵BC=BF+CF,∴BC=AB+CD.
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