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课件网) 3.4.2 第2课时 新授课 用向量方法研究立体几何中的位置关系 1.理解并掌握三垂线定理及其逆定理. 2.会用空间向量解决立体几何问题，掌握其一般步骤. 例1:已知：如图，AB⊥α，垂足为点B， 求证：l⊥AC. 证明：设向量l是直线l的方向向量. 由l⊥BC可知， 本例所证明的结论，通常称为三垂线定理.这里，直线BC实际上是斜线AC在平面α内的投影. 归纳总结 三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直. 类似地可以得到： 三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直. 练一练 1.已知：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD. (1)所有棱中，与直线PB垂直的有 ； (2)PC⊥BD的一个充要条件是 ； (3)四个侧面中，是直角三角形的有 个； (4)若AB=AD=AP，试在图中作出平面PDC的一个法向量. DA，CB AB=AD 4 在平面PAD中，过点A作AH⊥PD， 即为平面PDC的一个法向量. H 例2:已知：如图，直三棱柱ABC-A'B'C'中， 点M，N分别为A'B和B'C'的中点. (1)求证：MN∥平面A'ACC'；(2)求证：平面CMN⊥平面A'MN. 证明：由直三棱柱ABC-A'B'C'，可知A'A⊥平面ABC. 故以点A为原点，AB，AC，AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 又 设AA'=1， 则 例2:已知：如图，直三棱柱ABC-A'B'C'中， 点M，N分别为A'B和B'C'的中点. (1)求证：MN∥平面A'ACC'；(2)求证：平面CMN⊥平面A'MN. ∵点M，N分别为A'B和B'C'的中点， (1)由图易知 是平面A'ACC'的一个法向量. ∴ ∥平面 A'ACC'. 又∵ 平面A'ACC'，∴MN∥平面A'ACC'. 例2:已知：如图，直三棱柱ABC-A'B'C'中， 点M，N分别为A'B和B'C'的中点. (1)求证：MN∥平面A'ACC'；(2)求证：平面CMN⊥平面A'MN. (2)依题意有 设n1=(x，y，z)是平面CMN的一个法向量， 则 不妨取y=1，得 例2:已知：如图，直三棱柱ABC-A'B'C'中， 点M，N分别为A'B和B'C'的中点. (1)求证：MN∥平面A'ACC'；(2)求证：平面CMN⊥平面A'MN. 同理可得平面A'MN的一个法向量 ∴平面CMN⊥平面A'MN. 归纳总结 利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤 1.建立适当的空间直角坐标系，求对应点的坐标； 4.把向量运算的结果“翻译”为几何结论. 3.运用向量方法求解； 2.用坐标表示空间向量； 练一练 2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC. 证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系， 设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)， 则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2). 练一练 2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC. 令x＝1，则y＝1，z＝-1， ∴n＝(1,1,-1)， ∴EF⊥平面B1AC. 根据今天所学，回答下列问题： 1.三垂线定理及其逆定理分别是什么？ 2.利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤是什么？ ... ...
