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课件网) 直线与圆锥曲线的交点个数体现了直线与圆锥曲线的位置关系,判断直线l与圆锥曲线C 的位置关系时,可将直线l的方程与曲线C的方程联立,消去变量y(或x),得到一个关于变量x(或 y)的方程,再根据此方程进行判断.下面以消去变量y得到方程ax2+bx+c=0为例进行说明: (1)当a≠0时,若Δ>0,则直线l与曲线C相交;若Δ=0,则直线l与曲线C相切;若Δ<0,则直线l与曲线 C相离. (2)当a=0时,即得到一个一元一次方程,则直线l与曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双 曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行或重合于抛物线的对称轴. 提醒 (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交.当 §4 直线与圆锥曲线的位置关系 知识点 1 直线与圆锥曲线的交点 知识 清单破 直线与双曲线的渐近线平行且直线与双曲线相交时,直线与双曲线只有一个交点;当直线与 抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线相交,也只有一个交点. (2)过双曲线外一点P的直线与双曲线只有一个公共点的情形如下: ①P点在两条渐近线之间(不包括两条渐近线)且含虚轴的区域内时,有与渐近线平行的两条 直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共4条与双曲线只有一个公共点的直线; ②P点在两条渐近线之间(不包括两条渐近线)且含实轴的区域内时,有与渐近线平行的两条 直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共4条与双曲线只有一个公共点的直线; ③P点在两条渐近线上但非原点时,只有两条与双曲线只有一个公共点的直线:一条是与另一 渐近线平行的直线,一条是切线; ④P为原点时不存在这样的直线. (3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点. 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线的两个交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= ·|x2-x1|= 或|AB|= ·|y2-y1|= .直线的斜率不存在 时,|AB|=|y1-y2|. 知识点 2 弦长公式 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”. 1.过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切. ( ) 2.过点A(0,1)的直线一定与椭圆x2+ =1相交. ( ) 3.过点A(1,0)作与双曲线x2-y2=1只有一个公共点的直线,这样的直线可作2条. ( ) 4.若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线相切. ( ) √ √ 可作3条,其中1条垂直于x轴,另外2条分别平行于两条渐近线. 提示 1.直线与圆锥曲线相交所得弦的长 解决相交弦的长度问题,有两种方法: (1)求出直线与圆锥曲线的两个交点坐标,用两点间的距离公式求弦长; (2)根据“设而不求”的思想,通过一元二次方程根与系数的关系,并借助弦长公式求解. 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 直线与圆锥曲线的相交弦问题 2.直线与圆锥曲线相交弦的中点问题 直线与圆锥曲线相交弦的中点问题即中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差 法”求解. (1)利用根与系数的关系:将直线方程与圆锥曲线的方程联立,消元后得到一个一元二次方程, 利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,注意不能忽视对判别式的讨论. (2)点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A,B,一般地,设A(x1,y1),B(x2,y2),代入圆锥曲线方程, 通过作差,构造关于x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2的式子,从而建立中点坐标和斜率的关系. 典例 过点P(4,2)作直线AB,与双曲线C: -y2=1相交于A,B两点,若P为线段AB的中点,则|AB|= ( ) A.2 B.2 C.3 D.4 D 解析 解法一:由题意可知,直线AB的斜率存在.设直线AB的斜率为k,则直线AB的方程为y=k (x-4)+2. 由 消去y并整理,得(1-2k2)·x2+8k(2k-1)x-32k2+32k-10=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 因为P(4,2)为线段AB的中点, 所以x1+x2=- =8,解得k=1, 所以x1x2= =10, 所以|AB|= · =4 . 故选D. 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 - =1①, - =1②. ... ...
