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课件网) 5.4.2用一元一次方程解行程问题、工程问题 第五章 一元一次方程 【2024新教材】2025-2026学年冀教版数学 七年级上册 授课教师：******** 班 级：******** 时 间：******** 第一页：标题页 5.4.2 用一元一次方程解行程问题、工程问题 ——— 实际问题中的等量关系探索 （右下角添加授课教师姓名及日期） 第二页：引入 在生活中，行程问题和工程问题十分常见。比如 “甲、乙两人从两地同时出发相向而行，多久后相遇”“一项工程，甲单独做需要多少天完成，乙单独做需要多少天完成，两人合作需要几天完成” 等。这些问题看似复杂，但都可以通过分析其中的数量关系，用一元一次方程来解决。本节课我们就来学习如何运用一元一次方程解决行程问题和工程问题，掌握其中的解题思路和方法。 第三页：行程问题 一、基本数量关系 行程问题的基本数量关系为：路程 = 速度 × 时间，由此可变形得到：速度 = 路程 ÷ 时间，时间 = 路程 ÷ 速度。 二、常见类型及等量关系 相遇问题： 特点：两人或两物体从两地同时出发，相向而行，最终相遇。 等量关系：甲走的路程 + 乙走的路程 = 两地之间的总路程。 追及问题： 特点：两人或两物体同向运动，快者从后面追上慢者。 等量关系：快者走的路程 - 慢者走的路程 = 出发时两者之间的距离（或慢者先走的路程）。 同向而行（不同时出发）： 等量关系：慢者先走的路程 + 慢者后走的路程 = 快者走的路程。 环形跑道问题： 相遇（反向而行）：两人走的路程之和 = 环形跑道的周长。 追及（同向而行）：快者走的路程 - 慢者走的路程 = 环形跑道的周长。 三、例题解析（行程问题） 例题 1（相遇问题）：A、B 两地相距 450 千米，甲、乙两车分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。甲车的速度为 60 千米 / 小时，乙车的速度为 90 千米 / 小时，经过几小时两车相遇？ 解：步骤 1：审题，已知两地距离、两车速度，相向而行，求相遇时间。 步骤 2：设未知数，设经过\(x\)小时两车相遇。 步骤 3：找等量关系，甲车行驶的路程 + 乙车行驶的路程 = A、B 两地的距离。 步骤 4：列方程，甲车行驶的路程为\(60x\)千米，乙车行驶的路程为\(90x\)千米，可列方程\(60x + 90x = 450\)。 步骤 5：解方程，合并同类项得\(150x = 450\)，系数化为 1 得\(x = 3\)。 步骤 6：检验并作答，检验：\(60 3 + 90 3 = 180 + 270 = 450\)（千米），符合题意。 答：经过 3 小时两车相遇。甲先做 3 天的工作量为\(\frac{1}{12} 3 = \frac{1}{4}\)。 甲、乙合作\(x\)天的工作量为\((\frac{1}{12} + \frac{1}{18})x\)。 等量关系：甲先做的工作量 + 甲、乙合作的工作量 = 总工作量（单位 “1”）。 列方程：\(\frac{1}{4} + (\frac{1}{12} + \frac{1}{18})x = 1\)。 解方程：先计算括号内的工作效率和，\(\frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{3 + 2}{36} = \frac{5}{36}\)。 方程变为\(\frac{1}{4} + \frac{5}{36}x = 1\)，移项得\(\frac{5}{36}x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)。 系数化为 1 得\(x = \frac{3}{4} \frac{36}{5} = \frac{27}{5} = 5.4\)。 检验：\(\frac{1}{4} + \frac{5}{36} \frac{27}{5} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1\)，符合题意。 答：还需要\(\frac{27}{5}\)天才能完成这项工作。 第五页：易错点分析 行程问题： 忽略单位统一：如速度单位是千米 / 小时，时间单位是分钟，未进行单位换算就直接计算。 混淆相遇和追及的等量关系：相遇问题中误将 “路程差” 作为等量关系，追及问题中误将 “路程和” 作为等量关系。 环形跑道问题中，未明确是同向还是反向而行，导致等量关系错误。 工程问题： 总工作量未看作单位 “1”：在多人合作问题中 ... ...
