3.1 圆的对称性 课题 3.1 圆的对称性 课时 第1课时 授课人 教学目标 1.经历探索圆的对称性及垂径定理和推论的过程. 2.理解圆的对称性及有关性质. 3.会用垂径定理解决有关问题. 教学重难点 教学重点:垂径定理. 教学难点:运用垂径定理进行有关的计算. 教学活动 教学流程 师生活动 设计意图 课前小测 1.圆是平面内到 定点 的距离等于 定长 的点的集合. 2.弦:圆上任意两点之间所连接的线段叫做 弦 ,圆中最长的弦是 直径 . 3.弧:圆上任意两点间的部分叫做 圆弧 ,简称弧.用符号“ ———表示. 弧的分类 如图,以A,B为端点的弧有 2 条,分别是 劣弧 和 优弧 . 复习圆、弦、直径等的定义,弧的分类和表示方法,为这一章的学习做好准备. 情境导入 这是北京天坛公园内圜丘坛的照片. 圜丘坛,俗称祭天台,高5米,直径23米,是一座由汉白玉石雕栏围绕的三层石造圆台. 观察这幅图片,思考下面的问题: (1)圆是轴对称图形吗 是中心对称图形吗 是轴对称图形,也是中心对称图形. (2)如果站在圜丘坛最上一层,你能准确找到它的圆心吗 怎么能准确找到圆心呢 等学完这一章,同学们就会有办法了. 以美丽的北京天坛导入圆,并提出问题,第(1)个问题较简单,根据已学知识可以回答,第(2)个问题有一定的挑战性,激发学习兴趣. 合作探究 探究一:圆是轴对称图形吗？ 思考下面的问题,动手操作并与同学交流： (1)在一张半透明的纸片上画一个圆,标出它的圆心O,再任意作出一条直径AB.将☉O沿直径AB折叠,你发现了什么 折叠后两边完全重合. (2)再任意作一条直径,重复(1)中的操作,还有同样的结论吗 折叠后还是两边完全重合. 归纳小结： 圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都是它的对称轴. 1.让学生画图、折叠、观察、交流各自的发现,得出圆是轴对称图形的结论. 续表 合作探究 探究二:垂径定理和推论 1.垂径定理 如图,CD是☉O的弦,AB是与CD垂直的直径,垂足为点E.将☉O沿直径AB折叠. (1)你发现线段CE与DE有什么关系 与有什么关系 与有什么关系 通过折叠发现CE=DE,=,=. (2)能不能通过推理得到结论呢 证明:连接OC,OD.∵OC=OD,OE⊥CD,OE=OE, ∴Rt△OCE≌Rt△ODE,∴CE=DE. ∴点C与点D关于直线AB对称. ∵直线AB是☉O的对称轴, ∴当☉O沿直线AB折叠时,点C与点D重合,与重合,与重合, ∴=,=. 归纳小结：垂径定理:垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. 已知:①AB是直径;②AB⊥CD. 结论:③CE=DE;④=,⑤=. 符号语言:∵AB是直径,AB⊥CD, ∴CE=DE, =, =. “垂直于弦的直径”可以是直径,也可以是半径(如图),甚至还可以是过圆心的直线或线段. 2.垂径定理的推论 由折叠或垂径定理的证明可知,下列推论成立. 推论1: 平分弦(不是直径)的直径,垂直这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. 几何语言:如图①,∵CE=DE,AB是直径, ∴AB⊥CD,=,=. ① 如图②,两条直径一定互相平分,但不一定垂直,所以被平分的弦如果是直径,结论不一定成立. ② 推论2: 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 推论3: 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧. 归纳小结： 一条线知二推三:①过圆心,②垂直于弦,③平分弦(不是直径),④平分优弧,⑤平分劣弧. 2.引导学生探索垂径定理,根据圆的对称性,通过操作发现结论,然后引导学生通过合情推理和演绎推理来得到垂径定理. 3.垂径定理是圆中一个重要的结论,要能与推论相互转化,形成整体. 续表 合作探究 典例分析: 【例1】 如图,以△OAB的顶点O为圆心的☉O交AB于点C,D,且AC=BD.求证:OA=OB. 证明:作OE⊥AB,垂足为点E. 由垂径定理,得CE=DE. ∵AC=BD, ∴AC+CE=BD+DE, 即AE=BE. ∴OE为线段AB的垂直平分线. ∴OA=OB. 圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距. 例如:OE是CD的弦心距. 归纳小结：在圆中,作弦心距是常用的辅助 ... ...
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