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课件网) 第3章 对圆的进一步认识 九年级上册 3.7 正多边形与圆 课前小测 1.三角形外心的性质？内心的性质？ 3.你还记得什么叫正多边形吗？说出你常见的几种正多边形. 外角和恒等于360°. 各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形. 2.n边形的内角和是多少？外角和呢？ 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等； 内心是三条角平分线的交点，到三边的距离相等. 情境引入 （1）它们都是轴对称图形吗？如果是，分别画出每个图形所有的对称轴， 并说出这些对称轴是怎样的直线. 它们都是轴对称图形. 合作探究 探究一： 正多边形的对称性和有关概念 一．正多边形的轴对称性 （1）正三角形有几条对称轴？正四边形、正五边形、正六边形呢？由此你能猜测正 n 边形有几条对称轴吗？各条对称轴有怎样的特征？由此猜测正多边形有什么性质？ 正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴，由此猜测正n边形有n条对称轴。 正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等. 合作探究 探究一： 正多边形的对称性和有关概念 （2）利用尺规分别画出正方形、正六边形的外接圆和内切圆，它们的外接圆与内切圆有什么特征？你猜测正多边形都有外接圆和内切圆吗？如果有，它们的外接圆与内切圆有什么特征？ 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，圆心 是各对称轴的交点. 合作探究 探究一：定义 正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多边形的中心. 如图，圆心O是正方形和正六边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径.如图1，OA、OB是正方形的半径，图2中OA、OB是正六边形的半径. 内切圆的半径叫做正多方形的边心距.图1中OP是正方形的边心距；图2中OP是正六边形的边心距. 正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角， 正 n 边形的每个中心角都等于 . 图1中正方形的中心角是∠AOB=90°；图2中正六边形的中心角是∠AOB=60°. 图1 图2 （1）正多边形的中心： （2）正多边形的半径: （3）正多方形的边心距: （4）正多边形的中心角： 合作探究 三．圆的中心对称性 （1）正 n 边形的 n 条半径把正 n 边形分成了 n 个怎样的图形？相应的边心距把其中每一个图形又分成了两个怎样的图形？ 正n边形的n条半径把正n边形分成了n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形又被相应的边心距分成了两个全等的直角三角形. 合作探究 （2）如果正三角形的边长为 a，那么它的外接圆的半径 r 和内切圆的半径 d 分别是多少？一般地，如果正 n 边形的边长为 an，半径为 rn，边心距为 dn，这三个量之间有什么关系？ 三．圆的中心对称性 合作探究 （3）以正 n 边形的中心 O 为旋转中心，将正 n 边形旋转 , 你能得到什么结论？ 跟原图形重合. 三．圆的中心对称性 合作探究 （4）正 n 边形是中心对称图形吗？ 当 n 为偶数时，正 n 边形是中心对称图形，它的中心 O 是对称中心. 当 n 为奇数时，正n边形不是中心对称图形. 三．圆的中心对称性 典例分析 [例1] 一个正六边形花坛的半径为 R，求花坛的边长 a，周长 p 和面积 S . A B C D E F O R G 解 如上图， ABCDEF 为正六边形. 连接OA， OB，作 OG⊥ AB，垂足为点 G，则 OA = OB = R，AB = a . 在等腰三角形 AOB 中， 通过作出正多边形的半径和边心距，可以把正多边形的有关计算问题转化为解 直角三角形的问题. 归纳小结 1.正多边形的轴对称性 （1）正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形有n 条对称轴. （2）正多边形的各条对称轴相交于一点，这点到正多边形的各个顶点的距离相等，到各边的距离也相等. （3）任何正多边形都 ... ...
