中小学教育资源及组卷应用平台 等比数列前n项和 知识点一 等比数列的有关概念 （1）等比数列的公比为，其前项和为 注：①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解． ②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解． （2）当，时，是成等比数列的充要条件，此时． （3）公比不为－1的等比数列的前项和，为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 【题型一】 等比数列求和的计算 【例1】设等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A． B． C．5 D．7 【答案】C 【详解】由题知：显然 即，解得或（舍），所以 故选：C 【例2】已知正项等比数列的首项，前项和为．且，，成等差数列，则（ ）． A．8 B． C．16 D． 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列， 所以，所以，所以，即，解得或 因为，所以，所以故选：A 【例3】若等比数列的前n项和则（ ） A． B．4n-1 C． D．无法确定 【答案】C 【详解】当时，， 当时，， 因为数列为等比数列，所以当时，，解得， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列， 当时，，数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以.故选：C 【例4】设数列的前项和为，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题 故选D 变式1等比数列各项为正，成等差数列，为的前n项和，则 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的公比为，∵，，成等差数列，∴，，， ∴，得或（舍去），∴.故选D. 变式2已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（ ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】因为，所以，设公比为q，可得：， 两式相除得： 故选：A 变式3已知等比数列的项和，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知等比数列的项和. 当时，； 当时，. 由于数列为等比数列，则满足，所以，，解得， ，则，，且， 所以，数列为等比数列，且首项为，公比为， 因此，. 故选：D. 变式4在与之间插入个数，组成等比数列，若所有项的和为，则此数列的项数为 . 【答案】 【详解】设此等比数列的公比为，则，故此数列共有项，故答案为：. 【题型二】 等比数列前n项和的性质 【例5】一个等比数列前项和为，前项和为，则前项和为 ． 【答案】 【详解】等比数列的第一个n项和为48，第二个n项和为，从而可以求得第三个n项和为，所以前3n项和为，故答案是63. 【例6】设是等比数列的前项和，若，则 . 【答案】 【详解】法一：设，当时，，不符合要求，故， 故，即，则. 法二：由为等比数列，故， 由，即，即，即，即. 【例7】设正项等比数列的首项，前项和为，且，则公比的值为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】化简得，因为为等比数列，为其前项和， 所以，所以故选A 变式5已知为等比数列的前项和，，，则（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，为等比数列的前n项和，则成等比数列， 由等比中项，得，即，解得或（舍去）.故选：C 变式6已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的值为( ) A．18 B．20 C．24 D．28 【答案】D 【详解】由等比数列的性质知，构成等比数列， 设，则构成等比数列，，解得或 (舍去)． 是以2为首项，为公比的等比数列， 则，故，故选：D 变式7等比数列的前项和为，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由等比数列性质可知，成等比数列，因为，所以， 所以成等比数列，所以，所以，所以.故选：C. 【例8】已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是正项等比数列，所以，，仍然构成等比数列，所以. 又，，成等差数列，所以，，所以 ... ...
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