中小学教育资源及组卷应用平台 等比数列 知识点一 等比数列的有关概念 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为． 等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项． 即是与的等比中项 ，，成等比数列 ． 等比数列的通项公式 设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式． 推广形式： 【题型一】 等比数列通项公式 【例1】在等比数列中， （1），，求； （2），，若，求n的值． （3）公比 ，且 ，求 （4）已知 ，求 【详解】（1）设数列的公比为q， 因为，所以，，所以． （2）因为，所以．由，得． 由，解得． （3）由 ，得 ，即，代入，得 ， 又 ，解得： （舍）或 ，∴ ，则 ， （4）在等比数列中，，，设公比为， 故 ，显然不合题意， 两式相除得，即，即 ，解得或. 当时， ；当时，，∴或. 【例2】在等比数列中，已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】解：依题意，由； 由且；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B 【例3】在等比数列中，，则（ ） A．-4 B．8 C．-16 D．16 【详解】设等比数列的公比为，则，即，.故选:C. 变式1在等比数列中，，则（ ） A． B． C．16 D．8 变式2已知等比数列的各项均为正，且成等差数列，则数列的公比是（ ） A． B．2 C． D．或 变式3已知数列满足，且，则的值是（ ） A． B．5 C．4 D． 知识点二 等比数列的性质 等比中项的推广．若时，则，特别地，当时，． ①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． 在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为． 等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 【题型二】 等比数列的性质 【例4】已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【例5】在等比数列中，是方程的两个实根，则（ ） A．-5 B．±5 C．5 D．25 【答案】A 【详解】由题意得，得，则.由，得. 【例6】设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合，下列结论： ①若与均为等差数列，则中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素．其中正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】对于①，若与均为等差数列，不妨设各自公差分别为， 则，所以， 因为与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，所以： （i）若，则，则； （ii）若，则，则不存在； （iii）若，，则；综上①正确； 对于②，若与均为等比数列，不妨设各自公比分别为， 显然，显然该数列的奇数项都相同，故②错误； 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得 ：关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③ ... ...
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