第一章 问题解决策略:分类讨论 用数学的思维方法,综合地、有逻辑地分析问题,经历分工合作、建立模型、计算反思、解决问题的过程,提升思维能力,逐步形成“会用数学的思维思考现实世界”的核心素养. 1.通过实例,感受分类讨论的数学思想方法在解决问题中的有效运用,提升思维能力. 2.在小组合作与思考问题中培养模型观念与创新意识的核心素养. 重点:掌握分类讨论的方法,了解运用分类讨论的策略分析与解决问题的步骤. 难点:运用分类讨论的策略分析与解决问题,提升思维能力. 创设问题情境,让学生回顾数学知识学习与解决问题中所接触过的数学思想方法,从而淡化学生对分类讨论这一解决问题策略的陌生感,激发求知欲.对于较为复杂的问题的解决,学会从简单情形入手,逐步解决,适当迁移拓展,领悟数学思想方法通法通用的内在实质. (一)情境导入 在数学学习中与解决相关问题时,同学们接触过哪些数学思想方法或策略 请举例说明. 生1:转化的方法,如进行异分母分数的加减运算时,利用通分转化为同分母分数的加减. 生2:数形结合的思想方法,如解决行程问题时借助线段图分析与理解题意. 生3:分情况讨论,如由两个形状图还原几何体时可能存在多种情况. …… 师:同学们视野真开阔!数学思维真强!学习习惯真好!今天我们就先来学习问题解决的一种策略———分类讨论. (二)新知初探 探究一 问题解决策略:分类讨论 1.对于某些较为复杂的问题,我们需要将原问题划分为几种情况,针对每种情况逐一分析、逐一解决,这是一种分析问题、解决问题的重要策略———分类讨论. 2.问题:如图所示的是由4×4个边长为1的正方形拼接成的大正方形网格,该图包含多少个正方形 请同学们按照以下方法步骤进行探索分析与解答. 理解问题 (1)图中包含多个正方形,这些正方形的边长可以取哪些值 (2)若根据正方形的边长分类,则这些正方形可以分为几类 (3)如何确定每一类正方形的个数 解:(1)这些正方形的边长可以取1,2,3,4. (2)根据正方形的边长分类,则这些正方形可以分为四类. (3)边长为m的正方形的个数为[4-(m-1)]×[4-(m-1)]. 拟定计划 (1)确定图中包含正方形的取值范围; (2)根据图中包含的正方形边长情况,将这些正方形分类; (3)求出每一类正方形的个数,进而确定所有正方形的个数. 解:(1)图中包含的正方形边长的取值可以为1,2,3,4. (2)根据图中包含的正方形边长情况,将这些正方形分为四类,即边长为1的正方形,边长为2的正方形,边长为3的正方形,边长为4的正方形. (3)边长为1的正方形有4×4=16(个); 边长为2的正方形有(4-1)×(4-1)=9(个); 边长为3的正方形有(4-2)×(4-2)=4(个); 边长为4的正方形有(4-3)×(4-3)=1(个). 所以图中包含16+9+4+1=30(个)正方形. 实施计划 (1)图中边长为1的正方形有4×4个; (2)图中边长为2的正方形共有(4-1)×(4-1)个; (3)图中边长为3的正方形共有(4-2)×(4-2)个; (4)图中边长为4的正方形共有(4-3)×(4-3)个. 所以,图中包含16+9+4+1=30(个)正方形. [方法归纳] 运用分类讨论的策略分析与解决问题的步骤 (1)确定分类讨论的对象及其范围; (2)按照分类标准把研究对象分类后,逐级逐类进行讨论; (3)归纳并作出结论. 3.针对训练 (1)由6×6个边长为1的正方形拼接成的大正方形网格图中包含了多少个正方形 解:图中边长为1的正方形共有 6×6=36(个); 图中边长为2的正方形共有 (6-1)×(6-1)=25(个); 图中边长为3的正方形共有 (6-2)×(6-2)=16(个); 图中边长为4的正方形共有 (6-3)×(6-3)=9(个); 图中边长为5的正方形共有 (6-4)×(6-4)=4(个); 图中边长为6的正方形共有 (6-5)×(6-5)=1(个). 所以,图中包含36+25+16+9+4+1=91(个)正方形. (2)由m×m个边长为1的正方形拼接成的大正方形网格图中包含了多少个正方形 解:图中边长为1的正方形共有 ... ...
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