中小学教育资源及组卷应用平台 （华东师大2024版） 八年级上册数学《第10章 数的开方》 10.2 实数 一、无理数的概念 ★1、无理数：无限不循环小数又叫做无理数. ★2、常见的无理数的三种形式： (1)圆周率π以及一些含π的数，2π﹣3，； (2)开方开不尽的数，如：，等； (3)有规律但不循环的数，如1.01001000100001…等. 【注意】1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数,只有无限不循环小数才是无理数. 2.某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数. ★3、无理数与有理数的区别 (1)任何有理数都能化成分数(整数可以看成分母是1的分数)，无理数不能化成分数. (2)任何一个有理数都可以化成有限小数(把整数看成小数点后是0的小数)或无限循环小数，无理数是无限不循环小数. 二、实数的概念和分类 ★1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数. ★2、实数的分类： （1）按定义分类． （2）按性质分类. 三、实数与数轴的关系 ★1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. ★2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大. ★3、实数的大小比较 ①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数； ②两个正实数，绝对值大的数较大； ③两个负实数，绝对值大的数反而小. 四、实数的性质 在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． ★1、 数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数. ★2、 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即设a表示任意一个实数，则 |a| 五、实数的运算 ★1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算， 而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算. ★2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、 开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的. ★3、实数的运算律. ①加法交换律： a＋b＝b＋a； ②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) ③乘法交换律： ab＝ba； ④乘法结合律：(ab)c＝a(bc) ⑤分配律： a(b＋c)＝ab＋ac. 考点1、无理数的识别 【解题思路】（1）对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据结果进行分类，不能仅看到用根号表示的数就认为是无理数； （2）π是无理数，，化简后含π的数也是无理数，判断一个数是否为无理数要抓住两点：一是无限小数；二是其形式不循环. 例1．（2024春 廉江市期末）下列各数中，是无理数的是（ ） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【分析】无理数指无限不循环小数，逐项判断即可． 【解答】解：A.2024是整数，属于有理数，此项不符合题意； B．﹣2024是整数，属于有理数，此项不符合题意； C.开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，此项符合题意； D.是分数，属于有理数，此项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查无理数的概念，熟记概念是解题的关． 变式1．（2023秋 莱州市期末）下列各数中，不是无理数的是（ ） A． B． C．0.1010010001… D．π﹣3.14 【分析】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【解答】解：，0.1010010001…，π﹣3.14都是无限不循环小数，它们均为无理数； 是分数，它不是无理数； 故选：B． 【点评】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 变式2．（2024 舞阳县二模）公元前500年，古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯发现了边长为1的正方形的对角线长不 ... ...
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