§5 正态分布 学习目标 1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量. 2.通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征，培养数学抽象、直观想象的核心素养. 3.了解正态分布的均值、方差及其含义并会用正态分布去解决实际问题，培养逻辑推理、数学运算的核心素养. 任务一 正态分布 问题1.下列随机变量哪个是离散型随机变量： (1)掷一枚骰子一次，用X表示所得点数； (2)白炽灯的使用时间. 提示：(1)是，(2)不是. 问题2.一所学校同年级的同学，身高特别高的同学比较少，特别矮的同学也不多，大都集中在某个高度左右；自动流水线包装的每袋标准质量为400 g的食盐，由于不可控因素，实际质量与标准质量或多或少存在一定的误差.生活中这样的现象很多，还能使用二项分布、超几何分布来刻画吗？ 提示：不符合二项分布、超几何分布的特征，不能用它们刻画. 1.离散型随机变量：变量X的值可以一一列举. 连续型随机变量：人们把具有分布密度函数的随机变量称为连续型随机变量，最常见的一类连续型随机变量是由误差引起的，其分布密度曲线一般是形状像“钟”的光滑曲线.连续型随机变量X的值无法一一列举，它可以取某一个区间中的所有值. 2.正态分布与正态曲线 由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象对应的分布密度函数解析式为φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ＞0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为正态曲线. 3.如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ，σ(σ＞0)确定，记为X～N(μ，σ2).其中EX＝μ，DX＝σ2. 4.正态曲线的性质 (1)非负性：曲线在x轴的上方，与x轴不相交. (2)对称性：曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称. (3)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. (4)当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线. (5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中，如图②. (链教材P223例1)(1)(多选)已知三个正态分布密度函数fi(x)＝(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A.μ1＝μ2＞μ3 B.μ1＜μ2＝μ3 C.σ1＝σ2＞σ3 D.σ1＝σ2＜σ3 (2)(双空题)设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f(x)＝，则这个正态总体的平均数是 ；标准差是 . 答案：(1)BD (2)10 2 解析：(1)根据正态分布密度函数中参数μ，σ的意义，结合图象可知f2(x)，f3(x)对称轴位置相同，所以可得μ2＝μ3；且都在f1(x)的右侧，即μ1＜μ2＝μ3，比较f1(x)和f2(x)图象可得，其形状相同，即σ1＝σ2，又f3(x)的分散程度比f1(x)和f2(x)大，所以可得σ1＝σ2＜σ3.故选BD. (2) 因为f(x)＝＝，所以σ＝2，μ＝10，即正态总体的平均数与标准差分别为10与2. 利用正态曲线的特点求参数μ，σ 1.正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ. 2.正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此特点结合图象可求出σ. 对点练1.(1)函数f(x)＝(其中μ＜0)的图象可能为( ) (2)(双空题)如图，若一个随机变量X服从某正态分布X～N，且已知函数f(x)＝的图象及部分重要点的坐标如图，则该随机变量的均值EX＝ ，方差DX＝ . 答案：(1)A (2)5 1 解析：(1)函数f(x)图象的对称轴为直线x＝μ，因为μ＜0，所以排除B、D；又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确.故选A. (2)由图可知，当x＝5时，f(x)＝，所以μ＝5，σ＝1，所以X～N，所以EX＝ ... ...
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