4.2 超几何分布 学习目标 1.通过具体实例，了解超几何分布的概念及特征，掌握超几何分布的均值的计算，培养数学抽象、数学运算的核心素养. 2.了解二项分布与超几何分布的区别与联系，会用超几何分布解决一些简单的实际问题，培养学生数学建模、数学运算的核心素养. 任务一 超几何分布 问题1.已知4件产品中有2件次品，从中任取2件，记取出次品件数为X.试问： (1)取出的次品数X服从二项分布吗？ (2)你能写出X的分布列吗？ 提示：(1)X不服从二项分布. (2)随机变量X的取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 故X的分布列为P(X＝k)＝(k＝0，1，2). 超几何分布：一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}，其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋.若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布. [微提醒] (1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”.(2)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型. 角度1 超几何分布的判断 (多选题)下列随机变量中，服从超几何分布的有( ) A.抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X B.有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X C.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 D.在10道数学题中有6道选择题和4道非选择题，任意取出4道，记取到的选择题数X 答案：CD 解析：A、B是独立重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故A、B不符合题意；C、D符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布，故选CD. 角度2 超几何分布的概率与分布列 (链教材P217例4)某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数.求X的分布列. 解：依题意知，随机变量X服从超几何分布， 所以P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4). 所以P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P [变式探究] 1.(变设问)本例中，求所选出4人中至少1位男生的概率. 解：法一：所选出4人中至少1位男生的概率为P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＋＝. 法二：所选出4人中至少1位男生的概率为P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝. 2.(变条件)如果把本例中的条件“从中选出4人参加数学竞赛考试”改为“从中选出5人参加数学竞赛考试”，求X的分布列. 解：由题意得P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4，5)， 所以P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝； P(X＝4)＝＝；P(X＝5)＝＝. 故X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 1.判断一个随机变量是否服从超几何分布的依据 (1)总体是否可分为两类明确的对象(多类对象可转化为两类对象). (2)是否为不放回抽样. (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 2.求超几何分布的分布列的步骤 对点练1.(1)下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是( ) A.将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X B.某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X C.从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为X D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X 答案：C 解析：对于A，将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布，故A不满足；对于B，某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X，则X服从两点分布，故B不满足；对于C，从7 ... ...
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