22.2 二次函数与一元二次方程 课件(共40张PPT) 2025-2026学年度人教版数学九年级上册

(课件网) 22.2 二次函数与一元二次方程 第二十二章 二次函数 情境引入 问题 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有函数关系 h = 20t - 5t2. 考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？ h = 20t - 5t2 二次函数与一元二次方程的关系 O h/m t/s 15 1 3 故当小球飞行 1 s 或 3 s 时，它的高度为 15 m. 解：令 15 = 20t - 5t2， 即 t2 - 4t + 3 = 0， 解得 t1 = 1，t2 = 3. 你能结合上图，指出为什么在两个时间小球的高度为 15 m 吗？ (2) 小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为 20 m 吗？ O h/m t/s 20 2 解：令 20 = 20t - 5t2， 即 t2 - 4t + 4 = 0， 解得 t1 = t2 = 2. 故当球飞行 2 s 时，它的高度为 20 m. h = 20t - 5t2 解：令 20.5 = 20t - 5t2， 即 t2 - 4t + 4.1 = 0， 因为 (-4)2 - 4×4.1＜0， 所以方程无解. 即小球的飞行高度达不到 20.5 m. (3)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？ O h/m t/s 你能结合图形指出为什么小球不能达到 20.5 m 的高度吗 20.5 h = 20t - 5t2 (4) 小球从飞出到落地要用多少时间？ O h/m t/s 令 0 = 20t - 5t2， 即 t2 - 4t = 0， 解得 t1 = 0，t2 = 4. 故当小球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m. ∴ 小球从飞出到落地要用 4 s 时间. h = 20t - 5t2 解：小球飞出时和落地时的高度都为 0 m， 从上面发现，二次函数 y = ax2 + bx + c 何时为一元二次方程 一般地，当 y 取确定值且 a≠0 时，二次函数为一元二次方程. 为一个常数 （确定值） 如：y = 5 时，则 5 = ax2 + bx + c (a ≠ 0)就是一个一元二次方程. 所以二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为 3，求自变量 x 的值，可以看作解一元二次方程－x2＋4x = 3（即 x2－4x＋3 = 0）； 反过来，解方程 x2－4x＋3 = 0，又可以看作已知二次函数 y = x2－4x＋3 的值为 0，求自变量 x 的值． 例1 如图，小丁在某次扔铅球时，铅球沿抛物线 运行，其中 x (单位：m) 是铅球离初始位置的水平距离，y (单位：m)是铅球离地面的高度. （1）当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到 2.5 m？如果能，它离初始位置的水平距离是多少？ （3）铅球离地面的高度能否达 到 3 m？为什么？ 解：题意得 即 解得 即当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始 位置的水平距离是 1 m 或 5 m. （1）当铅球离地面的高度为 2.1 m 时，它离初始位置的水平距离是多少？ （2）铅球离地面的高度能否达到 2.5 m？如果能，它离初始位置的水平距离是多少？ 解：由题意得 即 解得 即当铅球离地面的高度为 2.5 m 时，它离初始位置 的水平距离是 3 m. 解：由题意得 即 因为 所以方程无实根. 所以铅球离地面的高度不能达到 3 m. （3）铅球离地面的高度能否达到 3 m？为什么？ 二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了. 思考 观察思考下列二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y = x2 + x - 2； （2）y = x2 - 6x + 9； （3）y = x2 - x + 1. 利用二次函数深入讨论一元二次方程 1 x y O y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 观察图象，完成下表： 抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2-x+1 y = x2-6x+9 y = x2+x-2 0 ... ...