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课件网) 11.3.2 两数和(差)的平方 1.经历完全平方公式的探索及推导过程，掌握完全平方公式的结构特征. 2.灵活应用完全平方公式进行计算. 一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较. a a b b 直接求：总面积=（a+b)(a+b) 间接求：总面积=a2+ab+ab+b2 你发现了什么？ （a+b)2=a2+2ab+b2 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 1.(p+1)2=(p+1)(p+1)= . p2+2p+1 2.(m+2)2=(m+2)(m+2)= . m2+4m+4 3.(p-1)2=(p-1)(p-1)= . p2-2p+1 4.(m-2)2=(m-2)(m-2)= . m2-4m+4 探究 前面的几个运算都是形如(a±b)2的多项式相乘. (a+b) 2= ( a + b)(a + b )=a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2 (a-b) 2= ( a - b)(a - b )=a2-ab-ab+b2 = a2-2ab+b2 (a+b) 2=a2+2ab+b2 (a-b) 2=a2-2ab+b2 两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记：首平方，尾平方，积的2倍中间放 公式特征： 1.积为二次三项式 2.积中两项为两数的平方和 3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式 你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗 b a a b b a b a 图 1 图2 思考 几何解释: = + + + a2 ab ab b2 (a+b)2= . a2+2ab+b2 和的完全平方公式： b a a b 图 1 几何解释: (a-b)2= . a2-2ab+b2 差的完全平方公式： b a b a = - - a2 ab 图2 b2 + ab 例1 计算： (1)(2x+3y)2; 解：(2x+3y)2 =(2x)2+2 2x 3y+(3y)2 =4x2+12xy+9y2； (2) 解： (3)(3x-2y)3; 解：(3x-2y)2 =(3x)2-2 3x 2y+(2y)2 =9x2-12xy+4y2； (4) 解：解法1 例1 计算： 解：解法2 (4) 例1 计算： 弄清题目中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式中的b，同时还要确定用两数和的完全平方公式还是两数差的完全平方公式； 应用完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2计算时，应注意： (a+b)2与(-a-b)2相等吗 (a-b)2与(b-a)2相等吗 (a-b)2与a2-b2相等吗 为什么 (-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2; (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2; (a-b)2=a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2. 思考 (a+b+c)2 解：(a+b+c)2 = [(a+b)+c]2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac. 把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算. 运用完全平方公式计算： (1) 1022； 解： 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404； (2) 992. 解：992 = (100 –1)2 =10000 -200+1 =9801. 例2 运用完全平方公式计算： 运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式． 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37； a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 例3 若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 解题时常用结论：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2. 1.下列计算正确的是( ) A．(x＋y)2＝x2＋y2 B．(x－y)2＝x2－2xy－y2 C．(x＋1)(x－1)＝x2－1 D．(x－1)2＝x2－1 C 2.若(x＋3)2＝x2＋ax＋9，则a的值为( ) A．3 B．±3 C．6 D．±6 C 3.运用完全平方公式计算： 解: (4m+n)2 =16m2+8mn+n2； (1)(4m+n)2； =(4m)2+2 (4m) n+n2 =y2 -y + =y2 + -2 y (2) . 解： 4.利用乘法公式计算： (1)982－101×99； ＝(2022－2021)2＝1. 解：原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1) ＝1002－400＋4－1002＋1＝－395； 解：原式＝20222－2×2022×2021＋20212 (2)20222－2022×4042＋20212. 5.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①; ∵x-y ... ...
