1.3 课时1 利用平方差公式进行因式分解（共18张PPT）2025-2026学年数学湘教版（2024）八年级上册

第1章 因式分解 1.3 公式法 课时1 利用平方差公式进行因式分解 1.理解平方差公式的结构特征，能够准确识别可以使用平方差公式进行因式分解的多项式． 2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解，培养观察、归纳、类比、概括能力． 如图，在边长为 a 米的正方形上剪掉一个边长为 b 米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么等式？ a米 b米 b米 a米 (a-b)米 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 探究：计算下列各式： (1)(a＋2)(a－2)＝_____； (2)(a＋b)(a－b)＝_____； (3)(3a＋2b)(3a－2b)＝_____． a2－4 a2－b2 9a2－4b2 请你根据上面的算式填空，你发现了什么？ (1)a2－4＝_____； (2)a2－b2＝_____； (3)9a2－4b2＝_____ ． (a＋2)(a－2) (a＋b)(a－b) (3a＋2b)(3a－2b) 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 整式乘法 (x+y)(x?????)=x2?y2 ? 因式分解 x2?y2=(x+y)(x?????) ? 像上面那样，把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. x?－25＝ ＝ . 在平方差公式中，将 y 用 5 代入得到等式： 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x?－25因式分解： x?－5? (x＋5)(x－5) 如何把x2-25因式分解？ ????+5?????5=????2?52=????2?25. ? 5x 例1 把多项式 25x?－4y? 因式分解. 分析 25x?＝(5x)? 和 4y?＝(2y)? ，有平方差公式的逆用可知， x2 ? y2 = (x+y)(x?????) ? 2y 解：25????2?4????2=(5????)2?(2????)2 =(5????+2????)(5?????2????) ? 方法总结：公式中的 x、y 无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 做一做：把多项式(????+????)2?(?????????)2因式分解？ ? 作为整体 (????+????)是公式中的???? (?????????)是公式中的???? ? 于是(????+????)2?(???? ? ????)2=[(????+????)+(?????????)][(????+????)?(?????????)] =2???? ? 2???? = 4????????. ? 解：由平方差公式得 ????+????+(?????????)????+?????(?????????)=????+????2?(?????????)2 ? 议一议：与同学交流，具有什么特征的多项式可用平方差公式分解因式？ 1、必须是二项式（两项）； 2、两项都能写成平方的形式（两个平方） 3、两项符号相反（一正一负） 能运用平方差公式分解因式的多项式的特点： x2?y2=(x+y)(x?????) ? 例2 把多项式 x4－y4 因式分解. 解： x4－y4＝( x2 )2－( y2 )2 ＝( x2＋y2 )(x2－y2 ) ＝( x2＋y2 )( x＋y )(x－y ). 因式分解必须进行到每个因式都不能再分解为止. 到这一步，因式分解完了没有呢？ 分解因式： (1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2. ＝(2m＋4n)(4m＋2n) 解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b). (2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n ) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 例3 把多项式 x5－x3y? 因式分解. 分析：多项式 x5－x3y? 的各项有公因式 x3，故应先提公因式，然后运用公式法进行因式分解. 解：x5－x3y?＝x3(x2－y?) ＝x3( x＋y )(x－y). 思考：这个多项式有没有公因式？如果有，你觉得应该怎样进行因式分解？ 例4 把多项式 x4 － 9 因式分解. 解： x4－9＝( x2 )2－32 ＝( x2＋3 )( x2－3 ) ＝( x2＋3 )[ x2－(3 )2 ] ? ＝( x2＋3 )( x＋3 )( x－3 ). ? ????=????2(????≥0) ? 做一做：用简便方法计算： (1) 6.12?3.92; (2) 0.122?0.882. ? 解：(1)?6.12?3.92 =6.1+3.96.1?3.9 =10×2.2 =22 ? (2) 0.122?0.882 =0.12+0.880.12?0.88 =1×0.76 =0.76 ? 公式 平方差公式分解因式 a2 - b2 = ( a + b )( a - b ) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解 1.下列多项式中，能用平方差公式进行因式 ... ...