1.3 课时2 利用完全平方公式进行因式分解（共17张PPT）2025-2026学年数学湘教版（2024）八年级上册

(课件网) 第1章 因式分解 1.3 公式法 课时2 利用完全平方公式进行因式分解 1. 掌握运用完全平方公式分解因式的方法，灵活运用完全平方公式把多项式分解因式. 2. 会综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解． 分解下列因式： (1)x2－4y2； (2)(x＋3y)2－(x－3y)2. 解：(1)原式＝(x＋2y)(x－2y)； (2)原式＝(x＋3y＋x－3y)(x＋3y－x＋3y)＝12xy. 根据学方差公式因式分解的经验和方法，你能将形如“a2＋2ab＋b2，a2－2ab＋b2”的式子因式分解吗？ 探究：计算下列各式： (1)(a－2b)2＝_____； (2)(7a－b)2＝_____； (3)(3a－2b)2＝_____． a2－4ab＋4b2 49a2－14ab＋b2 9a2－12ab＋4b2 请你根据上面的算式填空，你发现了什么？ (1)a2－4ab＋4b2＝_____； (2)49a2－14ab＋b2＝_____； (3)9a2－12ab＋4b2＝_____ ． (a－2b)2 (7a－b)2 (3a－2b)2 两个数的平方和加上 (或减去) 这两个数积的 2 倍，等于这两个数的和 (或差) 的平方. 整式乘法 (x±y)2=x2±2xy＋y2 因式分解 x2±2xy＋y2=(x±y)2 x ＋4x＋4＝ . 在完全平方公式中，将 y 用 2 代入得到等式： 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式x －25因式分解： 如何把x ＋4x＋4因式分解？ . 这种方法就是利用完全平方公式进行因式分解． 例5 把多项式 9x2－6x＋1 因式分解： 分析：9x2 = (3x)2， 1 = 1 ，2·3x·1 = 6x， 因此 9x2－6x＋1 符合完全平方式右边的形式，于是从右到左使用完全平方公式 ，就可把 9x2－6x＋1 因式分解. 解： 9x2－6x＋1 = (3x－1)2. = (3x)2－2 · 3x · 1 + 12 议一议：与同学交流，具有什么特征的多项式可以运用完全平方公式分解因式？ x2±2xy＋y2=(x±y)2 1、必须是三项式（三项）； 2、两项都能写成平方的形式（两个平方），符号相同； 3、两底数乘积积的2倍放中间，符号既可以为正也可以为负. 能运用完全平方公式分解因式的多项式的特点： 例6 把下列多项式因式分解： (1) －4x2＋12xy－9y2； (2) x5＋2x3y＋xy2. 解：(1) －4x2＋12xy－9y2 ＝－(4x －12xy＋9y ) ＝－[(2x) －2·2x·3y＋(3y) ] ＝－(2x－3y) . 分析：(1)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 －(4x2－12xy＋9y2) 然后再利用公式因式分解. 例6 把下列多项式因式分解： (1) －4x2＋12xy－9y2； (2) x5＋2x3y＋xy2. 解：(2) x5＋2x3y＋xy2 ＝x(x4＋2x y＋y ) ＝x[(x ) ＋2·x ·y＋y ] ＝x(x ＋y) . 分析：(2) 中有公因式 x，应先提出公因式，再进一步因式分解； 例7 把多项式 x4－2x2＋1 因式分解. 解： x4－2x2＋1 ＝(x ) －2·x ·1＋1 ＝(x －1) 归纳：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式，平方项为负的先提出负号． 注意:分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 到这一步，因式分解完了没有呢？ ＝[(x＋1)(x－1)] ＝(x＋1) (x－1) . 可以利用完全平方公式把多项式 (x＋y) －4(x＋y)＋4 因式分解吗？试一试. 分析：将 x＋y 看成一个整体，如 x＋y = m，则原式化为 m2 - 4m + 4. 解：(x＋y) －4(x＋y)＋4 ＝(x＋y) －2·(x＋y)·2＋2 ＝(x＋y－2) . 归纳：完全平方公式中的x、y无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成完全平方式的形式，就能用完全平方公式因式分解. 利用完全平方公式因式分解 公式 a2±2ab＋b2 = (a±b)2 特点 (1)要求多项式有三项； (2)其中两项是某数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负. 1.下面的多项式能否用完全平方公式分解因式？说明理由. （1） x2 - 12xy + 36y2； （2） x2 - 10x - 25； （3） 9x2 y2 - 3xy + 1； （4）-2xy - x2 - y2. 解：(1)能用，符合完全平方公式 ... ...