2.3 幂函数 教案

§2.3.1 幂函数 【教材分析】 幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成. 因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝x-1,y＝x等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性：当幂指数a＞0时,幂函数的图象都经过点（0,0）和（1,1）,且在第一象限内函数单调递增；当幂指数a＜0时,幂函数的图象都经过点（1,1）,且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习. 【教学目标】 1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质 2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想 3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力. 【教学重难点】 教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质. 教学难点:幂函数的性质. 【教学设计建议】 一、导入新课 1、前面我们已经学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，这类函数有什么特点呢？ 2、生活中也有这些问题： (1).如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？根据函数的定义可知,这里p是w的函数. (2).如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数. (3).如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数. (4).如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=S,这里a是S的函数. (5).如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的速度v=t-1km/s,这里v是t的函数. 以上这些我们生活中经常遇到的几个数学模型,这些函数解析式有什么共同特点？ 【设计意图：简单回顾已有知识的基础上，通过实例加深和引出新的函数模型，形成认知冲突.】 二、探索新知 （一）观察分析上述函数的解析式，给这类函数命名。 由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数。 如果我们用字母a来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义: 一般地,形如y=xa（x∈R）的函数称为幂函数,其中x是自变量,a是常数.如y=x2,y=x,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数. （二）画出画出y=x,y=x,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象 1、学生通过列表、描点、连线画函数图象: x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x … 0 1 1.41 1.73 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=x3 … -27 -8 -1 0 1 8 27 … y=x-1 … - -1 1 … 2、观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律，完成表格 函数 性质 y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1 定义域 值域 奇偶性 单调性 特殊点 图象分布 （三）归纳新知 1、幂函数的定义及其注意 2、上诉五个函数的图像及性质 函数 性质 y=x y=x2 y=x3 y=x y=x-1 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 奇 奇 非奇非偶 奇 单调性 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递增 在第Ⅰ象限单调递减 特殊点 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) 图象分布 第Ⅰ、Ⅲ象限 第Ⅰ、Ⅱ ... ...