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课件网) 第六章 平面向量 6.2.3 向量的数乘运算 人教A版2019必修二 学科素养 利用有向线段将平面向量的数乘运算具体化 数学抽象 掌握平面向量数乘运算，利用向量的运算解决实际问题 数学建模 通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力 逻辑推理 利用 通过有向线段直观判断平面向量的数乘运算 直观想象 数学分析 能够正确计算和判断向量的数乘运算 数学运算 00:47 00:47 向量的数乘运算 创设情境 问题1：(1)向量是如何进行加法和减法运算 你能总结一下我们的研究方法与路径吗 (2)你认为我们还可以研究向量的什么运算 (3)如果实数与向量可以做乘法运算，你认为应该怎样去研究这种运算 向量的数乘运算 新知探究 问题2：已知非零向量 ，作出 和 ，它们的长度和方向是怎样的？ O A B C N M Q P 类比乘法 记作 相同 方向 长度 的3倍 类比乘法 记作 相反 方向 长度 的3倍 追问：在整式运算中，我们可以将x+x+x用乘法简写为3x。对于非零向量a，a+a+a我们可以怎样简写呢？ 向量的数乘运算 新知探究 思考： 思考：已知非零向量a， a的长度与方向分别是怎样的？ 一般地，我们规定实数λ与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 提出定义 向量的数乘 它的长度和方向规定如下： 几何意义：将 的长度扩大(或缩小)|λ|倍，改变(不改变) 的方向， 就得到了 特别地，当λ=0或 时， （1）长度 （2）方向当λ>0时， 的方向与 方向相同； 当λ<0时， 的方向与 方向相反. 思考：你对零向量、相反向量有什么新的认识 向量的数乘运算 新知探究 = 问题3： 求作向量 和 ( 为非零向量)，向量 和 ,向量 和 ,并进行比较. 向量的数乘运算律 (λμ)a λa＋μa λa＋λb －(λa) λ(－a) λa－λb 线性 向量 λu1a±λu2b 向量的数乘运算 新知探究 问题4：通过练习，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？ 实数与向量的积与原向量共线 追问1：a＝λb a与b共线，对吗？ 正确 追问2：若a与b共线，一定有a＝λb吗？ 不一定．当b＝0，a＝0时，λ有无数个值；当b＝0，a≠0时，λ无解；只有当b≠0时，才有a＝λb. 一定存在,且是唯一的. 共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使_____. b＝λa 思考：为什么a要是非零向量？b可以是非零向量吗？ 牛刀小试 例练结合 例1：计算 解：（1）原式= （2）原式= （3）原式= 方法小结 3:6 向量的数乘运算类似于实数运算,遵循括号内运算优先原则,将相同的向量看作“同类项”进行合并.向量的数乘要注意所得结果仍是向量,同时要在理解其几何意义的基础上,熟练运用运算律. 向量的数乘运算技巧 例练结合 例2：□ABCD的两条对角线相交于点M，且 试用 表示向量 和 A B D C M 解：在□ABCD中， 由平行四边形的两条对角线互相平分，得 例练结合 A B C 解： 所求作如图示， 由所作图猜想A,B,C三点共线. 证明如下： 例3 如图，已知任意两个非零向量 ，试作 . 猜想A, B, C 三点之间的位置关系，并证明你的猜想. 例练结合 例4 已知a，b是两个不共线的向量，向量b-ta与 a- b共线，求实数t. 解： 方法小结 3:6 向量共线定理的应用 例练结合 例练结合 方法小结 3:6 用已知向量表示其他向量的两种方法 (1)直接法． (2)方程法． 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 当堂小测 1.B 2.C 3.D 4.－2 课堂小结 思考： (1)通过这节课，你学到了什么知识？ (2)在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 课后作业 完成教材：第15页 练习 第1，2，3题 第16页 练习 第1,2,3题 第23页 习题6.2 第8,9,14,15题 ... ...
