第8章 立体几何初步 8.2 立体图形的直观图 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图. 2.会用斜二测画法画常见的柱、锥、台、球以及简单组合体的直观图. 前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征。为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要学习直观图的有关知识。 观察： 如果一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面，则矩形的平行投影是一个平行四边形。 矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？ 一、直观图 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示，因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同。在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。 要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形。 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 2 斜二测画法画平面图形 画轴:横不变、纵斜450或1350 画线：平行保持不变 取长度：横不变、纵减半 例１．用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。 （1）建立坐标系 （2）画坐标轴上的点（横不变，纵减半）， 平行坐标轴的线段（平行关系不改变） （3）连线, 擦去辅助线。 在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小. 跟踪训练1 已知正五边形ABCDE，如图，试画出其直观图. 解 画法： (1)在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H. (2)在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°. (4)连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③). 如何根据斜二测画法画出的直观图还原出原图？ 思考： 例2．下图是用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图△A’B’ C’ ， 其中A’O’=O’B’ ,请画出这个图形的真实图形；设S△ABC=S，求直观图△A’B’ C’的面积S’ 。 （1）建坐标系 （2）画坐标轴上的点（平行于x/轴的线段长度不变，平行于y/轴的线段长度加倍）画平行于坐标轴的线段（本题无）； （3）连线,擦去辅助线 若一个多边形的面积为 ????原，它的直观图的面积为 ????直，则有 ????直=????????????原， ????原=????????????直.（只适用于多边形面积关系） ? 直观图还原成原平面图形时出错 坑① 一个水平放置的平面图形按斜二测画法得到的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，求这个平面图形的面积. 【解析】画出直观图如图所示： x′ ? ????′ ? ????′ ? ????′ ? ????′ ? ????′ ? ????′ ? ???? ? ???? ? ???? ? ????+???? ? 方法一：直观图的面积 ????′=12×1+1+2×22=1+22, ? 平面图形的面积 ????=22????′=2+2 ? 方法二：把直观图还原成原来的梯形，如图所示： x ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ????+???? ? 所以这个平面图形是直角梯形，它的面积 ????=12×1+1+2×2=2+2 ? 如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是_____，其面积为_____. 菱形 解析 如图，在原图形OABC中， CD＝C′D′＝2 cm， 所以OA＝OC＝BC＝AB， 故四边形OABC是菱形. (1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可. (2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴y′轴垂直，并且平行于z轴的线段平行性和长度都不变，连线成图. (3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示. 用斜二测画法画空间几何体 ... ...
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