3.角平分线 角平分线的性质定理 1.如图,在△ABC中,∠C=90°,BD是△ABC的角平分线.若CD=3 cm,则点D到AB的距离为 ( ) A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm 2.如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若S△ABC=28,DE=4,AB=8,则AC的长是 ( ) A.8 B.7 C.6 D.5 3.如图,E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别是点C、D. 求证:OC=OD. 角平分线的判定定理 4.如图,PM⊥OA,PN⊥OB.若PM=PN,∠BOC=30°,则∠AOB的度数为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.50° 5.(2025恩施州期中)如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,且∠BDE=∠CDF. 求证:AD平分∠BAC. 1.(2025湖州长兴县期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AC、AB于点G、F,再分别以G、F为圆心,大于GF长为半径作弧,两弧交于点E,作射线AE,交BC于点D,已知CD=3,AB=8,则△ABD的面积为 ( ) A.8 B.10 C.12 D.24 2.如图,OP平分∠AOB,PF⊥OA于点F,点D在OB上,DH⊥OP于点H,若OD=4,OP=8,PF=3.5,则DH的长为 ( ) A.4.5 B.5 C.7 D. 3.如图,在△ABC中,∠B=90°,依据尺规作图痕迹,有如下三种说法: 甲:BD=DE; 乙:∠CDE=∠CAB; 丙:AB+CE=AC. 下列判断正确的是 ( ) A.只有甲对 B.只有乙对 C.只有丙对 D.三人说的都对 4.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△ADE的面积分别为50和38,则△DEF的面积为 ( ) A.8 B.12 C.4 D.6 5.如图,CB=CD,∠D+∠ABC=180°,CE⊥AD于点E. (1)求证:AC平分∠DAB; (2)若AE=10,DE=4,求AB的长. 6.如图,△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线相交于点P,连结BP. (1)求证:BP平分∠ABC; (2)若AC=5,△APC的面积是10,△ABC的面积是15,求△ABC的周长. 7.(几何直观)如图,在△ABC中,点D在边BC的延长线上,∠ACB=110°,∠ABC的平分线交AD于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为H,且∠CEH=55°. (1)求∠ACE的度数; (2)求证:AE平分∠CAF; (3)若AC+CD=14,AB=8.5,且△ACD的面积为21,求△ABE的面积. 【详解答案】 基础达标 1.B 2.C 3.证明:∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB, ∴EC=ED. 在Rt△OCE和Rt△ODE中, ∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL). ∴OC=OD. 4.C 5.证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴∠DEB=∠DFC=90°. ∵D是BC的中点, ∴BD=CD. 在△BED和△CFD中, ∴△BED≌△CFD(AAS). ∴DE=DF. ∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, ∴点D在∠BAC的平分线上. ∴AD平分∠BAC. 能力提升 1.C 解析:如图,过点D作DH⊥AB于点H. ∵AD平分∠BAC,CD⊥AC,DH⊥AB, ∴DH=CD=3. ∴△ABD的面积=·AB·DH=×8×3=12. 故选C. 2.D 解析:如图,过点P作PN⊥OB于点N, ∵OP平分∠AOB,PF⊥OA,PN⊥OB, ∴PF=PN=3.5. ∵S△ODP=×OP×DH=×OD×PN, ∴×8×DH=×4×3.5, 解得DH=. 故选D. 3.D 解析:由作图可得AD平分∠BAC,DE⊥AC, ∵∠B=90°, ∴BD=DE,故甲正确; ∠CDE=∠CAB,故乙正确; 在Rt△ABD和Rt△AED中, ∴Rt△ABD≌Rt△AED(HL). ∴AB=AE. ∴AC=AE+CE=AB+CE,故丙正确. 故选D. 4.D 解析:如图,过点D作DH⊥AC于H,∵AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB, ∴DF=DH.在Rt△DEF和Rt△DGH中, ∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL). ∴S△DEF=S△DGH. 设△EDF的面积为S, 同理Rt△ADF≌Rt△ADH, ∴S△ADF=S△ADH. 即38+S=50-S, 解得S=6. 故选D. 5.(1)证明:如图,过点C作CF⊥AB,交AB的延长线于点F. ∵CE⊥AD,∴∠DEC=∠CFB=90°. ∵∠D+∠ABC=180°,∠CBF+∠ABC=180°,∴∠D=∠CBF. 又∵CD=CB, ∴△CDE≌△CBF(AAS). ∴CE=CF.∴AC平分∠DAB. (2)解:由(1)可得△CDE≌△CBF,∴BF=DE=4. 在Rt△ACE和Rt△ACF中, ∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL). ∴AF=AE=10.∴AB=AF-BF=6. 6.(1)证明:如图,过点P作PF⊥BD于点F,PG⊥AC于点G,PH⊥BE于点H, ∵AP平分∠DAC,PF⊥BD,PG⊥AC, ∴PF=PG. ∵CP平分∠ACE,PH⊥BE,PG⊥AC, ∴PH=PG. ∴PF= ... ...
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