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课件网) 湘教版2019高一数学（选修一） 第一章 数列 第二课时 数列的递推公式 1.1 数列的概念 学习目标 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 2.了解用累加法、累乘法求通项公式. 3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式. 4.会求数列的最大(小)项. 情景导入 同学们，前面我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛. 问题1 观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？ 观察可得： 自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1， 即a1＝4，a2＝5＝4＋1＝a1＋1，a3＝6＝5＋1＝a2＋1. 依此类推：an＝an－1＋1(2≤n≤7，n∈N＋). 1.数列的递推公式 新知探究 例 1.某种生物细胞在实验室的培养过程中，每小时分裂一次（一个分裂为两个），经过12h，由1个这种细胞可以繁殖成多少个细胞 解 设经过n h，这种细胞由 1个可繁殖成an个，细胞的个数形成一个数列{an}． 由题意，细胞每小时分裂一次，得an+1=2an，(n≥1)． 由a1=2，并根据an+1=2an，得a2 =4， 依此类推，a3=23，…，a12=212=4 096． 因此经过12 h，这种细胞由1个可繁殖成4 096 个． 像这样，如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an+1 =f (an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式；a1称为数列{an}的初始条件． 由递推公式和初始条件可确定数列{an}，这是表示数列的又一种重要方法． 许多与数列有关的应用问题最后都归结为这种数学模型，而且这种方法便于计算机编程进行计算． 概念归纳 注意点： (1)通项公式反映的是an与n之间的关系. (2)常见的递推关系一般是数列任意两个或三个相邻项之间的推导关系，需要知道首项或前几项，即可求数列中的每一项. 概念归纳 例2（课本例4）根据递推公式和初始条件， 写出数列{an}的前5项，并猜想数列{an}的通项公式． 解 反复利用递推公式，列表如下： n 1 2 3 4 5 …… n an 1 …… 3 7 15 31 2n-1 于是，数列{an}的前5项分别是：1，3，7，15，31， 猜想数列{an}的通项公式为2n-1． 例3（课本例5）2 500多年前的古希腊毕达哥拉斯学派在研究数时，喜欢把数描述成沙滩上的小石子.他们发现1,3,6,10,15，…这些数量的石子，都可以排成三角形(如图)，并称这样的数为“三角形数”.记图中圆点的个数依次构成数列{an}，试写出数列{an}的一个递推关系. 由图可知，a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，而且，在第n个“三角形数”图案的下面添加n＋1个圆点，即得到第n＋1个“三角形数”图案，因此an＋1＝an＋n＋1(n≥1)，a1＝1为数列{an}的一个递推关系. 2.观察下图，写出点所成数列的一个通项公式. 解 由图可知， a1=4，a2=7，a3=10，a4=13，…… 而且，在第n个图案的添加3个小圆，即得到第n＋1个图案，因此， an+1=an＋3(n≥1)，a1=4 为数列{an}的一个递推关系． 数列{an}的一个通项公式为：an=3n＋1． 课本练习 如果数列{an}的前n项和Sn，与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 我们把数列{an}从第1项到第n项的各项之和，称为数列{an}的前n项和， 常记作Sn，即 数列的前n项和可以看成以正整数集N+（或它的有限子集）为定义域的函数Sn= f (n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值 f (1)， f (2)， f (3)，….． 2.数列的前n项和 新知探究 例4.已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式an=2n－1． （1） 求S1，S2，S3，S4的值； （2）猜想数列 ... ...
