(课件网) 第 15 章 轴对称图形与 等腰三角形 15.3 角的平分线 第 1 课时 角平分线的尺规作图 1.理解和掌握用尺规作已知角的平分线，以及过一点作已知直线的垂线;（重点） 2.应用三角形全等的知识，理解角平分线的原理;（难点） 3.在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神． 学习目标 问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分 线吗？ 用量角器度量，也可用对折的方法. 问题2：如果把前面的纸片换成木板、风筝 等，还能用对折的方法得到木板、 钢板的角平分线吗？ 提炼图形 提炼图形 问题3：如图是一个角平分仪，其中 AB = AD，BC = DC. 将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线．你能说明其中的道理吗？ A B C (E) D 其依据是由 SSS 得到两个三角形全等，故其对应角相等. 尺规作角平分线 问题 怎样得到一个角的角平分线？ 方法一 用量角器量角的度数可以找出一个角的平分线. 方法二 通过折纸可以得到一个角的角平分线，如图，在半透明纸上任画 ∠AOB，折叠使射线 OA，OB 重合，得到的射线 OP 就是 ∠AOB 的平分线. A O B O B(A) A O B P P (1) (2) (3) 1 作法：(1) 以点 O 为圆心， 适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； (2) 分别以点 M、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C； (3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求. A B M N C O 尺规作∠AOB 的平分线. 方法三 证明：在△OMP 和△ONP 中， OM = ON， MP = NP， OP = OP， ∴ △OMP≌△ONP(SSS). ∴∠MOP =∠NOP，即 OP 平分∠AOB. 想一想：为什么 OP 是角平分线呢？ 已知：OM = ON，MP = NP. 求证：OP 平分∠AOB. B A N M P O 问题引导 如何过一点 P 作已知直线 l 的垂线呢？ 由于两点确定一条直线， 因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线. 过一点作已知直线的垂线 2 ①在直线 l 上点 P 的两旁分别截 取线段 PA， PB，使 PA = PB； (1) 当点 P 在直线 l 上. ②分别以 A，B 为圆心以大于 AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点 C； ③过点 C， P 作直线 CP， 则直线 CP 为所求作的直线. · P A B C l 这一步的目的是什么？ (2) 当点 P 在直线 l 外. ① 以点 P 为圆心， 以大于点 P 到直线 l 的距离的线段长为半径画弧， 交直线 l 于点 A，B； ② 分别以 A，B 为圆心 以大于 AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点 C； ③ 过点 C，P 作直线 CP，则直线 CP 为所求作的直线. · P A B C l 第一步的目的是什么？画弧的半径为什么要大于 P 到 l 的距离？ 例 利用直尺和圆规作一个等于 45° 的角. 作法： 1. 作直线 AB； 2. 过点 A 作直线 AB 的垂线 AC； 3. 作∠CAB 的平分线 AD. ∠DAB 就是所要求作的角. D A B C 1. 如图所示的作图痕迹作的是 （ ） A. 线段的垂直平分线 B. 过一点作已知直线的垂线 C. 一个角的平分线 D. 作一个角等于已知角 B 2. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC =∠BOC 的依据是（ ） A. SSS B. ASA C. AAS D. SAS A B M N C O A 3. 请在图中作出线段 AD，使其平分∠BAC 且长度 等于 m. C B A m C N M P A B D 解： 角平分线的尺规作图 ①已知：根据文字语言用数学语言写出题目中的条件 ②求作：根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件 ③作法：根据作图的过程写出每一步的操作过程 ... ...
