5.1 第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用 课件（共25张PPT）2025-2026学年湘教版八年级数学上册

(课件网) 第2课时 含 30° 角的直角三角形的 性质及其应用 5.1 直角三角形的性质定理 第5章 直角三角形 1.理解和掌握含 30° 角的直角三角形的性质和应用； （重点） 2.通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培 养逻辑思维能力、分析和解决问题的能力．（难点） 学习目标 问题1 如图，将两个含 30° 角的三角尺摆放在 一起，你能借助这个图 形，找到 Rt△ABC 的直 角边 BC 与斜边 AB 之间 的数量关系吗？（提示：请点击拼接和分离） 分离 拼接 A B C D A' C' 问题2 剪一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？ 动手：用刻度尺测量含 30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系. 含30°角的直角三角形的性质 结论：短直角边=斜边 A B C D 如图，△ADC 是 △ABC 的轴对称图形， 因此 AB = AD， ∠BAD = 2×30° = 60°， 从而 △ABD 是一个等边三角形. 再由 AC⊥BD， 可得 BC = CD = BD = AB. 合作探究 证明：取线段 AB 的中点 D，连接 CD. ∵CD 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线， A 30° B C D ∵∠BCA = 90°，且 ∠A = 30°， ∴∠B = 60°. ∴△CBD 为等边三角形. 证明方法：中线法 证法1 证明：在 △ABC 中， ∵∠ACB = 90°，∠BAC = 30°， ∴∠B = 60°． 延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接 AD， 则△ABD 是等边三角形． A B C D ∴ BC = BD = AB．　　 30° ) 证明方法：倍长法 证法2 ) 证明： 在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC. ∵ ∠B = 60° ，BE = BC. ∴ △BCE 是等边三角形， ∴ ∠BEC = 60°，BE = EC. ∵ ∠A = 30°， ∴ ∠ECA = ∠BEC -∠A = 60° - 30°= 30°. ∴ AE = EC， ∴ AE = BE = BC， ∴ AB = AE + BE = 2BC. E A B C ∴BC = AB．　　 30° 证明方法：截半法 证法3 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 应用格式： 因为在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，　　 A B C 所以BC = AB．　　 ) 30° 知识要点 (1) 直角三角形中 30° 角所对的直角边等于另一直角边的一半． (2) 三角形中 30° 角所对的边等于最长边的一半. (3) 直角三角形中最小的直角边是斜边的一半. (4) 直角三角形的斜边是 30° 锐角所对直角边的 2 倍． √ 想一想 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD 是斜边 AB 上的高，AD＝3 cm，则 AB 的长度是(　) A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm 注意：运用含 30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． D 解析：在 Rt△ABC 中，∵CD 是斜边 AB 上的高，∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝∠B＝30°. 在 Rt△ACD 中，AC＝2AD＝6 cm，在 Rt△ABC 中，AB＝2AC＝12 cm. ∴ AB 的长度是 12 cm. 典例精析 ∵∠B = ∠ACB = 15° (已知)， ∴∠DAC = ∠B+∠ACB = 15°+15° = 30°， 例2 已知：等腰三角形的底角为 15°，腰长为 20. 求腰上的高. A C B D 15° 15° 20 解：过 C 作 CD⊥BA 交 BA 的延长线于点 D. ) ) ∴CD = AC = ×20 = 10. 方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含 30° 角的直角三角形来解决． 例3 在 A 岛周围 20 海里水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到 O 处时，测得 A 岛在北偏东 60°的方向，且与轮船相距 30 海里，如图所示. 若该轮船继续保持由西向东的航向，会有触礁的危险吗？(已知≈1.732) 分析：如图，取轮船航向所在的直线为 OB .过点 A 作 AD⊥OB ，垂足为D. AD 的长为 A 岛到轮船航道的最短距离，若 AD 大于 20 海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险. 典例精析 解：如图，取轮船航向所在的直线为OB.过点 A 作AD⊥OB，垂足为 D，连接 A ... ...