(课件网) 4.3 全等三角形 第4章 三角形 4.3.5 全等三角形的应用 1. 熟练掌握全等三角形的判定定理，全面认清条件，能正确地利用相关条件判定三角形全等；（重点、难点） 2. 运用全等三角形的判定方法解决线段相等和角相等的相关应用问题. 学习目标 如图，要证明△ACE≌△BDF，根据给定的条件和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上. (1) AC∥BD，CE = DF， .(边角边) (2) AC = BD， AC∥BD，_____. (角边角) (3) CE = DF， ， . (边边边) C B A E F D AC = BD ∠A = ∠B AC = BD AE = BF 思考：如图，为测量河宽 AB，小楠从河岸的 A 点沿着与 AB 垂直的方向走到 C 点，并在 AC 的中点 E 处立一根标杆，然后从 C 点沿着与 AC 垂直的方向走到 D 点，使点D，E，B 恰好在一条 直线上. 于是小楠说： “CD 的长就是河的宽度.” 你认为小楠说得对吗？ 为什么 A B E C D 1 全等三角形的实际应用 解： 如图，在△AEB 和△CED 中， ∠A =∠C = 90°， AE = CE， ∠AEB =∠CED (对顶角相等)， 所以△AEB≌△CED (角边角). 从而 AB = CD. 即 CD 的长就是河的宽度. 因此，小楠说得对. 例1 小玲家有一个小口玻璃瓶，她想知道它的内径是多少，但是尺子不能伸到里边测量，于是她想了个办法：将两根长度相同的细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动(如图所示)，使 CD 与瓶底平行，这样只要量出 AB 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道其中的理由是什么吗 （木条的粗细忽略不计)？ 分析：只需要说明 AB 和 CD 相等即可. 解：如图，连接 AB，CD， 所以△AOB≌△COD (边角边)， 从而 AB = CD， 即 AB 的长等于玻璃瓶的内径. 由题意可知，OA = OB = OC = OD. 在△AOB 和△COD 中， OA = OC， ∠AOB =∠COD (对顶角相等)， OB = OD， 例2 在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯. 其中 A 灯恰好照到 B 灯，B 灯恰好照到甲楼的顶部 C 处，如图所示. 已知 AE 为水平线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线 AB，BC 与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的 2 倍？为什么 解：如图，过点 B 作 BF⊥AC，交 AC 于点 F，则∠CFB =∠AFB = 90°. 又∠CFB =∠CAE = 90°， 所以 FB∥AE， 从而∠ABF =∠BAE. 因为两盏灯的光线 AB，BC 与水平线的夹角相等， 所以∠CBF =∠BAE，从而∠CBF =∠ABF. 所以△CBF≌△ABF（角边角），从而 CF = AF. 又 FA⊥AE，BE⊥AE，且 AE∥FB， 所以 AF，EB 是平行线 AE 与 FB 的公垂线段， 故 AF = EB，从而AC = 2AF = 2EB. 因此，可以说甲楼高度是乙楼高楼的 2 倍. 在△CBF 和△ABF 中， ∠CBF =∠ABF， BF = BF， ∠CFB =∠AFB， 1. 小玉利用一根长 3.6 m 的竿子来测量路灯 AB 的高度，她的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使 BP＝3.6 m，并测得∠APB＝66°，然后把竖直的竿子CD（CD＝3.6 m）在 BP 的延长线上左右移动，使∠CPD＝24°，此时测得 BD＝11.6 m. 请根据这些数据，计算路灯 AB 的高度. A 路灯 B P C D 练一练 ∴△CPD≌△PAB(角边角). ∴PD＝AB. ∵BD＝11.6 m，BP＝3.6 m， ∴AB＝PD＝BD－BP＝8 m. 答：路灯 AB 的高度是 8 m. 解：由题意得，∠CDP＝∠PBA＝90°， ∵∠CPD＝24°，∴∠PCD＝180°－90°－24°＝66°， ∵∠APB＝66°，∴∠PCD＝∠APB. 在△CPD 和△PAB 中， ∠CDP＝∠PBA＝90°， CD＝PB＝3.6， ∠PCD＝∠APB， A 路灯 B P C D 例3 已知：如图，AB = CD，BC = DA，E，F 是 AC上的两点，且 AE = CF. 求证：BF = DE. 证明：在△ABC 和△CDA 中， ∴△ABC≌△CDA (SSS). ∴∠BCF =∠DAE. AB = CD， BC = DA， AC = CA (公共边)， 在△BCF 和△DAE 中， ∴△BCF≌△DAE (SAS). ∴ BF = DE. BC = DA， ∠BCF = ∠DA ... ...
