3.1.2函数的单调性 学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

3.1.2函数的单调性 学习目标 1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图像理解和研究函数的单调性． 2．会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性，会求一些具体函数的单调区间． 3．理解函数的最大值和最小值的概念，能借助函数的图像和单调性，求一些简单函数的最值． 二、重难点 重点：判断函数的单调性，求单调区间 难点：定义法判断函数的单调性，用单调性求函数的最值 三、知识梳理 1.增函数、减函数的概念 一般地，设函数的定义域为D，且I D： （1）如果对任意，当时，都有_____，则称在I上是_____(也称在I上单调递增)，如图（1）所示； （2）如果对任意，当时，都有_____，则称在I上是_____(也称在I上单调递减)，如图（2）所示． 两种情况下，都称函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)． 注意：一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接．如函数在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． 2.最大值、最小值定义： 一般地，设函数的定义域为D，且：如果对任意x∈D，都有，则称的_____为，而称为的_____；如果对任意x∈D，都有，则称的_____为，而称为的_____. 最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点. 3.函数的平均变化率 （1）直线的斜率 一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点，当时，称_____为直线AB的斜率；当时，称直线AB的斜率_____． 直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度． 若记，相应的，则当时，斜率可记为． （2）平均变化率 一般地，当时，称_____为函数在区间（时）或（时）上的平均变化率． 4.在I上是增函数(减函数)的充要条件 一般地，若I是函数的定义域的子集，对任意且，记（即），则： （1）在I上是增函数的充要条件是_____在I上恒成立； （2）在I上是减函数的充要条件是_____在I上恒成立． 四、应用举例 例题1．证明：函数y＝在（－1，＋∞）上是增函数． 证明：设x1>x2>－1，则 y1－y2＝－＝． ∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0， ∴>0，即y1－y2>0，y1>y2， ∴y＝在（－1，＋∞）上是增函数． 例2：求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数． （1）f（x）＝－；（2）f（x）＝ （3）f（x）＝－x2＋2|x|＋3． 解：（1）函数f（x）＝－的单调区间为（－∞，0），（0，＋∞），其在（－∞，0），（0，＋∞）上都是增函数． （2）当x≥1时，f（x）是增函数，当x<1时，f（x）是减函数，所以f（x）的单调区间为（－∞，1），[1，＋∞），并且函数f（x）在（－∞，1）上是减函数，在[1，＋∞）上是增函数． （3）因为f（x）＝－x2＋2|x|＋3＝ 根据解析式可作出函数的图像如图所示，由图像可知，函数f（x）的单调区间为（－∞，－1]，（－1，0），[0，1），[1，＋∞）． f（x）在（－∞，－1]，[0，1）上是增函数，在（－1，0），[1，＋∞）上是减函数． 五、课堂训练 1.判断下列命题的真假： （1）如果在区间I上是增函数，那么在该区间上，自变量减小时，函数值也减小； （2）如果在区间I上，随着自变量的减小，函数值反而增大，那么在I上是减函数. 2.如图，已知函数，的图象（包括端点），根据图象写出函数的单调区间，以及在每一个区间上，函数是增函数还是减函数. 3.判断函数，的单调性，并求这个函数的最值. 4.依据函数单调性的定义，证明函数，是递增的. 5.判断函数的单调性，并证明. 6.证明函数在上是增函数，在上是减函数，并求这个函数的最值. 7.已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么下列说法中，一定正确的是_____. （1）； （2）； （3）在 ... ...