6.2.3　向量的数乘运算（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

6.2.3　向量的数乘运算 [学习目标]　1．了解向量数乘的概念． 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算． 3．理解并掌握向量共线定理及其判定方法． [讨论交流]　预习教材P13－P16的内容，思考以下问题： 问题1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？ 问题2．向量数乘运算满足哪三条运算律？ 问题3．向量共线定理是怎样表述的？ [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　向量的数乘运算 探究问题1　如图，已知非零向量a，你能作出a＋a＋a、(－a)＋(－a)＋(－a)吗？它们的长度和方向分别是怎样的？ _____ _____ [新知生成] 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个_____，这种运算叫做向量的_____，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a|． (2)λa(a≠0)的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝_____． 当λ＝－1时，(－1)a＝－a． 探究2　向量的线性运算 探究问题2　类比实数的乘法的运算律，那么数乘向量有什么运算律呢？ _____ _____ [新知生成] 1．数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝_____． (2)(λ＋μ)a＝_____． (3)λ(a＋b)＝_____． 特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb． 2．向量的线性运算 向量的_____、_____、_____运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_____． [典例讲评]　1．(源自人教B版教材)化简下列各式： (1)2(a＋b)－2(a－b)； (2)－(a＋b－c)＋2(a－b＋c)； [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ (3)2a－×4a； (4)(λ＋μ)(a－b)＋(λ－μ)(a＋b)． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　向量线性运算的基本方法 (1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当地运用运算律，简化运算． [学以致用]　1．已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y． _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 探究3　向量共线定理 探究问题3　结合探究1，思考一下：如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b＝λa(a≠0) _____ _____ _____ [新知生成]　向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． [典例讲评]　2．设a，b是不共线的两个向量． (1)若＝a－3b， 求证：A，B，C三点共线； (2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　 1．证明或判断三点共线的方法 一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得(或等)即可． 2．利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数对应相等求解． [学以致用]　2．设不共线，且(a，b∈R)． (1)若a＝，求证：A，B，C三点共线； (2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？说明理由． _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 探究4　用已知向量表示其他向量 [典例讲评]　3．(1)如图，在 ABCD中，E是BC的中点， ... ...