6.2.4　第2课时　向量数量积的运算律及其应用（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）必修 第二册

第2课时　向量数量积的运算律及其应用 [学习目标]　1．掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式． 2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明． [讨论交流]　预习教材P20－P22的内容，思考以下问题： 问题1．向量数量积的运算有哪些运算律？ 问题2．如何利用数量积求向量的模、夹角等问题． [自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系． 探究1　向量数量积的运算律 [新知生成] 1．对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 2．数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)2＝_____． (2)(a－b)2＝_____． (3)(a＋b)·(a－b)＝_____． [典例讲评]　1．(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是(　　) A．a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b与c不垂直 C．|a|－|b|<|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0．特别是向量的数量积不满足结合律． [学以致用]　1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．0 探究2　与向量模有关的问题 [典例讲评]　2．(1)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，求|a＋2b|； (2)已知|a＋b|＝|a－b|，求a·b． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 　a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． [学以致用]　2．(1)(多选)单位向量a，b的夹角为锐角，则|2a－b|的取值可能为(　　) A．1　　　B．1.5　　　C．2　　　D．2.5 (2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝＝|2a－b|，则|b|＝_____． 探究3　与向量垂直、夹角有关的问题 [典例讲评]　3．(1)已知非零向量m，n满足4|m|＝3，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　) A．4　　　B．－4　　　C．　　　D．－ (2)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，求k的取值范围． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ [母题探究]将本例(2)中的条件“锐角”改为“钝角”，其他条件不变，求k的取值范围． _____ _____ _____ _____ _____ 　求两向量夹角的方法 (1)一般是利用夹角公式：cos θ＝． (2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角；数量积等于0说明两向量的夹角为直角；数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角． [学以致用]　3．(源自苏教版教材)如图，在 ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°．求： (1)的值； (2)cos ∠BAC． _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ 1．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为(　　) A． 　　　B． 　　　C．3 　　　D．5 2．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于(　　) A．16 　　　B．256 　　　C．8 　　　D．64 3．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则实数λ等于(　　) A． 　　　B．－ 　　　C．± 　　　D．1 4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为_____． 1．知识链：(1)向量数量积的运算律． (2)利用数量积求向量的模和夹角． (3)向量垂直的应用． 2．方法链：类比法． 3．警示牌：忽略向量数量积不满足结合律． 第2课时　向量数量积的运算律及其应用 [探究建构]　 探究1 新知生成　2．(1)a2＋2a·b＋b2　(2)a2－2a·b＋b2 (3)a2－b2 典例讲评　1．ACD　[ ... ...