3.3抛物线 教材习题解答（含答案）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3抛物线 【教材课后习题P138】 1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．填空题 （1）准线方程为的抛物线的标准方程是 ． （2）抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是 ． 3．已知抛物线上一点M与焦点F的距离，求点M的坐标. 4．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形： （1）顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6； （2）顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点． 5．如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以Fx为始边、FM为终边的角，求． 6．如图，直线与抛物线相交于A，B两点，求证：． 7．如图，吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段，宽为7m，高为0.7m．根据图中的坐标系，求这条抛物线的方程． 8．图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m.水下降1m后，水面宽多少？（精确到0.1m） 9．从抛物线上各点向x轴作垂线段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线. 10．已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线()上，求这个等边三角形的边长. 11．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，求点M的轨迹方程． 12．已知抛物线的方程为，直线l绕点旋转，讨论直线l与抛物线的公共点个数，并回答下列问题： （1）画出图形表示直线l与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线l与抛物线只有一个公共点时是什么情况？ （2）与直线l的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？ 13．设抛物线的焦点为F，从点F发出的光线经过抛物线上的点M（不同于抛物线的顶点）反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴． 【教材习题答案】 1．答案：(1)焦点坐标为，准线方程为：； (2)焦点坐标为，准线方程为：； (3)焦点坐标为，准线方程为：； (4)焦点坐标为，准线方程为：； 解析：（1）抛物线的焦点坐标为，准线方程为：； （2）抛物线的标准方程为：，抛物线的焦点坐标为，准线方程为：； （3）抛物线的标准方程为：，抛物线的焦点坐标为，准线方程为：； （4）抛物线的标准方程为：，抛物线的焦点坐标为，准线方程为：． 2．答案：； 解析：（1）准线方程为，则，得，且焦点在轴上，故抛物线方程为； （2）设所求的点坐标为，抛物线上与焦点的距离等于6，则，得，代入抛物线方程得，故所求点坐标为. 3．答案： 解析：因为抛物线上一点M与焦点F的距离， 所以，所以，进而有，所以点M的坐标为：，故答案为： 4．答案：（1）y2＝±24x，图见解析；（2）x2＝﹣12y，图见解析． 解析：（1）∵抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，∴设抛物线的标准方程为：y2＝2px，又∵顶点与焦点的距离||＝6，∴p＝±12，∴抛物线的标准方程为：y2＝±24x； （2）∵顶点在原点，对称轴是y轴，∴设抛物线的标准方程为：x2＝2py，又∵抛物线经过点P（﹣6，﹣3）．∴36＝﹣6p，解得：p＝﹣6，∴设抛物线的标准方程为：x2＝﹣12y． 5．答案： 解析：抛物线的准线为，过M作MB垂直于直线，垂足为B，作FA⊥MB于A，直线与x轴交于点K，如图： 则轴，即，四边形ABKF是矩形，中，，由抛物线定义知，，而，则，解得，所以=4. 6．解析：由得，设，则有，，，即，所以. 7．答案：， 解析：根据图形，设抛物线的方程为y＝ax2（a＞0），则该抛物线过点B（，0.7），∴a0.7，解得a，∴该抛物线的方程为yx2即， 8．答案：4.9 m 解析：在抛物线形拱桥上，以拱顶为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示. 设该拋物线的方程为.拱顶离水面2 m，水面宽4 m，点在拋物线上，，解得，拋物线的方程为.当水面下降1 m时，，代入，得，即，，故这时水面宽约为4.9 m. 9．答案：；顶点在原点，焦点为，开口向右的 ... ...