中小学教育资源及组卷应用平台 专题03 全等三角形的判定（2） 考点类型 知识串讲 （一）全等三角形的判定（ASA、AAS） （1）AAS:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的对边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角角边”或简记为（AAS） （2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 图12-2-5 在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′ ∠B=∠B′ AC=A′C′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). （1）ASA:如果两个三角形两角分别对应相等，及其中一角的夹边相等，那么这两个三角形全等．简写成“角边角”或简记为（ASA） （2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如: 图12-2-5 在△ABC和△A′B′C′中, ∠A=∠A′ AB=A′B′ ∠B=∠B′ ∴△ABC≌△A′B′C′(SAS). （二）全等三角形的判定（HL） （1）直角三角形全等 ①斜边和一条直角边对应相等（HL） ②证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS. 考点训练 考点1：用ASA证明三角形全等 典例1：如图，，，，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，平行线的性质． （1）由，，可得，结合，即可求解； （2）证明，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ． 【变式1】已知：如图，，，点F、点C在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据平行线的性质得到，，再证明，由“”可证． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式2】如图，小明家住在河岸边的处，河对岸的处有一棵树，他想要测得这棵树与自己家之间的距离．设计了下面的方案：在与点同侧的河岸边选择一点，测得，，然后在处立了标杆，使，，此时测得的长就是，两点间的距离．小明设计的方案是否正确？请说明理由． 【答案】小明设计的方案正确．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先结合，，，，得出，，，证明，得，即可作答． 【详解】解：小明设计的方案正确． 理由： ∵，，，， ∴在和中，，，， ∴， ∴， 故的长就是，两点间的距离． 【变式3】如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质，全等三角形判定．根据平行线的性质可得，，再根据等式的性质可得，然后利用可证明． 【详解】解：证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴． 考点2：用AAS证明三角形全等 典例2：如图，点，在上，，，．试说明． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据，得出，再结合，，即可证明，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴，即． 在和中， ， ∴． 【变式1】如图，在中，是斜边上的高线，为上一点，于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定．证明，，根据即可证明． 【详解】证明：在中，． ， ． ． ， ． ， ． 【变式2】如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为． (1)若为的中点，求证：； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查几何变换，平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握和理解这些性质进行推理是解题的关键． （1）根据平移性质得到，，从而得到，再根据为的中点，得到，从而证明结论； （2）根据平分，得到，从而证明．再根据三角形内角和定理以及，即可求解； 【详解】（1）解：由沿射线的方向平移所得， ，， ， 为的中点， ， ． 在和中 ， ； （2）平分， ， 又， ． ，， ． 【变式3】如图，点B，F，C，E在一条直线上，点A，D在这条直线的两侧，已知，，． ... ...
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