22.2.1　直接开平方法和因式分解法 同步练（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版（2024）九年级上册

22.2　一元二次方程的解法 22.2.1　直接开平方法和因式分解法 1.一般地，对于方程x2＝p(p　≥0　)，它的两个实数根为x1＝　　，x2＝　－　；而对于方程(mx＋n)2＝p(m　≠0　，p　≥0　)，可以转化为两个一元一次方程：　mx＋n＝　和　mx＋n＝－　，进而求出方程的两个根． 2.因式分解法：因式分解法是利用因式分解求出一元二次方程的解的方法，例如：对于关于x的方程x2－a2＝0，将方程左边分解因式得(x＋a)(x－a)＝0，则有　x＋a　＝0或　x－a　＝0，得到x1＝　－a　，x2＝　a　． 考点1　直接开平方法解一元二次方程 【典例1】解方程： (1)x2－16＝0；(2)(x＋5)2＝25； (3)(x－1)2－25＝0. 解：(1)x2－16＝0， ∴x2＝16， ∴x1＝4，x2＝－4； (2)(x＋5)2＝25， 方程开方，得x＋5＝5或x＋5＝－5， 解得x1＝0，x2＝－10； (3)(x－1)2－25＝0，∴(x－1)2＝25，直接开平方法，得x－1＝±5， 即x－1＝5或x－1＝－5， ∴x1＝6，x2＝－4. 用直接开平方法解一元二次方程时，要把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，开方的结果要注意取正负两种情况． 【变式训练】 1.解方程：(1)(x－1)2＝36； (2)3(x－1)2＝12. (1)(x－1)2＝36， ∴x－1＝±6，∴x＝±6＋1， ∴x1＝7，x2＝－5； (2)3(x－1)2＝12， ∴(x－1)2＝4，∴x－1＝±， ∴x－1＝±2，∴x1＝3，x2＝－1. 考点2　用因式分解法解一元二次方程 【典例2】(1)4x2－121＝0； (2)x－3－x(x－3)＝0. 解：(1)∵4x2－121＝0， ∴(2x－11)(2x＋11)＝0， ∴2x－11＝0或2x＋11＝0， ∴x1＝，x2＝－. (2)x－3－x(x－3)＝0，∴(x－3)(1－x)＝0，∴x－3＝0或1－x＝0， ∴x1＝3，x2＝1. 用因式分解法解一元二次方程的两点注意：(1)将方程的一边改写成两个因式相乘的形式；(2)当方程两边都有含未知数的公因式时，不能直接约去公因式，只能移项再分解因式． 【变式训练】 2.用因式分解法解一元二次方程： (1)(x＋2)2＝9；(2)3x(x－2)＝x－2. (1)(x＋2＋3)(x＋2－3)＝0， ∴x＋5＝0或x－1＝0，∴x1＝－5，x2＝1； (2)3x(x－2)－(x－2)＝0， (x－2)(3x－1)＝0，∴x－2＝0或3x－1＝0， ∴x1＝2，x2＝. 知识点1　直接开平方法 1.（海南临高县月考）一元二次方程x2－25＝0的解为(　B　) A.x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝－5 C．x1＝x2＝－5 D．x1＝x2＝25 2.（海南临高县期中）若方程(x－4)2＝a有实数解，则a的取值范围是(　B　) A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．无法确定 3.用直接开平方法解下列方程： (1)x2＝3； (2)4x2－1＝0； (3)(x－1)2－4＝0； (4)12(3－x)2－48＝0. (1)x2＝3，x＝±，x1＝，x2＝－； (2)4x2－1＝0，4x2＝1，2x＝±1，x1＝，x2＝－； (3)(x－1)2－4＝0，(x－1)2＝4，x－1＝±2，x1＝3，x2＝－1； (4)12(3－x)2－48＝0，12(3－x)2＝48，(3－x)2＝4，3－x＝±2，x1＝1，x2＝5. 知识点2　因式分解法 4.（海南海口秀英区校级月考）方程x2－2x＝0的解是(　C　) A．x＝0 B．x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝－2，x2＝2 5.已知一元二次方程的两根分别为x1＝3、x2＝－4，则这个方程为(　A　) A．(x－3)(x＋4)＝0 B．(x＋3)(x－4)＝0 C．(x＋3)(x＋4)＝0 D．(x－3)(x－4)＝0 6.（河南鹤壁期末）下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x＝2的解是(　D　) x －2 －1 0 1 2 3 … x2－x 6 2 0 0 2 6 … A.x＝－1 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝－1或x＝2 7.（河南驻马店期中）方程x(x－3)＝5(x－3)的解是　x1＝3，x2＝5　. 易错易混点　忽略平方的非负性而出错 8.如果(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)＝63，那么a2＋b2的值为　8　． 设a2＋b2＝x，则(x＋1)(x－1)＝63，整理，得x2＝64，x＝±8，即a2＋b2＝8或a2＋b2＝－8（不合题意，舍去）. 9.将(2x－1)2＝10x－5转化为两个一 ... ...