23.3.3 相似三角形的性质 素养目标 1.掌握相似三角形的相似比与对应高、中线、角平分线、周长、面积的比存在的等量关系. 2.进一步巩固三角形相似的判定定理,并能进行相应性质的推导. 3.能熟练运用三角形相似的性质进行量的计算. 重点 相似三角形性质定理及其应用. 【预习导学】 知识点一 相似三角形的对应高的比与面积比 认真阅读课本中“探索”的内容,理解相似三角形对应高的比、面积比的求解方法,解决下面的问题. 参照“图23.3.14”,写出关于“相似三角形对应边上高的比”的求解过程. 揭示定理 相似三角形对应边上的高的比等于 ;相似三角形面积的比等于 . 知识点二 相似三角形的对应中线的比、对应角平分线的比和周长比 仿照求相似三角形对应高的比和面积比的方法,解决下面的问题. 1.如图,△ABC∽△A'B'C',且相似比为k,其中AE、A'E'分别是∠BAC、∠B'A'C'的平分线,求的值. 归纳总结 相似三角形对应角的平分线之比等于 . 2.在第1问中,若AE、A'E'分别是边BC、B'C'上的中线,求的值. 归纳总结 相似三角形对应边上的中线之比等于 . 3.如图,△ABC∽△A'B'C',且相似比为k,那么△ABC与△A'B'C'的周长之比等于相似比吗 证明你的猜想. 归纳总结 相似三角形周长之比等于 . 【合作探究】 任务驱动一 三角形面积比的求法 1.已知:如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=3AD,则= ,= . 变式演练 第1题中△ACD与△ABC的面积之比为 ,△ACD与△BOC的面积之比为 . 方法归纳交流 当两个三角形相似时,面积比等于 ;当两个三角形同高(或等高)时,面积比等于 . 任务驱动二 利用相似三角形的性质求周长、面积 2.如图,在△ABC和△EBD中,===. (1)若△ABC与△EBD的周长之差为60 cm,求这两个三角形的周长. (2)若△ABC与△EBD的面积和为812 cm2,求这两个三角形的面积. 参考答案 【预习导学】 知识点一 解:∵△ABC∽△A'B'C',∴∠B=∠B'. ∵∠ABD=∠A'B'D', ∴△ABD∽△A'B'D', ∴==k. 揭示定理 相似比 相似比的平方 知识点二 1.解:∵△ABC∽△A'B'C', ∴∠BAC=∠B'A'C'. ∵AE、A'E'分别是∠BAC、∠B'A'C'的平分线, ∴∠BAE=∠B'A'E', ∴△ABE∽△A'B'E', ∴==k. 归纳总结 相似比 2.解:∵△ABC∽△A'B'C', ∴==k,∠B=∠B'. ∵AE、A'E'分别是边BC、B'C'上的中线, ∴==k, ∴△ABE∽△A'B'E', ∴==k. 归纳总结 相似比 3.解:∵△ABC∽△A'B'C', ∴===k, ∴=k, 即两个三角形的周长之比为k. 归纳总结 相似比 【合作探究】 任务驱动一 1. 变式演练 1∶3 4∶9 方法归纳交流 相似比的平方 对应底的比 任务驱动二 2.解:∵===, ∴△ABC∽△EBD, ∴△ABC与△EBD的相似比为,周长比为,面积比为. (1)设△ABC的周长为5x cm,则△EBD的周长为2x cm, 根据题意得5x-2x=60,解得x=20. ∴△ABC的周长为100 cm,△EBD的周长为40 cm. (2)设△ABC的面积为25y cm2,则△EBD的面积为4y cm2. 根据题意得25y+4y=812,解得y=28. ∴△ABC的面积为700 cm2,△EBD的面积为112 cm2. ... ...
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