15.3　角的平分线 同步练 （含答案） 2025-2026学年数学沪科版（2024）八年级上册

15.3　角的平分线　 第1课时　角平分线的尺规作图 知识点1　画角的平分线 1．如图，用尺规作已知角的平分线的理论依据是( C ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 2．在△ABC中，AB＝AC，利用尺规作图的方法作AB边上的垂直平分线MN与∠BAC的平分线AD，MN，AD相交于点P．(保留作图痕迹，不写作法) 略 知识点2　经过一点作已知直线的垂线 3．如图，已知直线l及直线外一点P，按照下列要求作图： (1)过点P作PQ⊥l，垂足为点Q； (2)在直线l上取一点H(不与点Q重合)，连接PH； (3)用刻度尺测量PH与PQ的大小，发现PQ　＜　(选填“＞”“＜”或“＝”)PH． 解：(1)如图所示． (2)如图所示． 4．如图，已知锐角∠AOB．在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC的长为半径作弧，交射线OB于点D，连接CD；分别以点C，D为圆心，CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点P，连接CP，DP；作射线OP，交CD于点Q．根据以上作图过程及所作图形，有下列结论：①CP∥OB；②∠AOP＝∠BOP；③OP⊥CD．其中正确的结论是( C ) A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N．再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，下列说法中不正确的是( D ) A．AD是∠BAC的平分线 B．∠ADC＝60° C．点D在AB的中垂线上 D．S△ACD∶S△ABD＝1∶3 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE，交AB于点F，则∠ACF的度数是　18°　． 7．如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的半轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于点C．若点C的坐标为(m－1，2n)，则m与n的关系为　m＋2n＝1　． 8．(1)尺规作图：作出∠A的角平分线AD； (2)尺规作图：作出AC边上的中线BE．(只要保留作图痕迹，不要求写作法和证明) 解：(1)如图1所示，AD即为所求． (2)如图2所示，BE即为所求． 图1　　图2 9．尺规作图：已知线段a，画一个底边长度为a，底边上的高也为a的等腰三角形(要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，写出作法)． 解：已知：线段a． 求作：等腰三角形ABC，其中BC＝a，BC边上的高AD＝a． 作法：(1)作线段BC＝a；(2)作线段BC的垂直平分线AD，D为垂足；(3)在直线AD上截取线段DA＝a；(4)连接AB，AC，则△ABC即为所求作的三角形． 10．用不同的工具和方法画∠AOB的平分线．(保留作图痕迹) (1)在图1中只用无刻度直尺和圆规画∠AOB的平分线； (2)在图2中你能只用刻度尺画∠AOB的平分线吗？请说明画法并说明画法的正确性． 图1　图2 解：(1)如图1，射线OP即为所求． 图1　　图2 (2)如图2，分别在OA，OB上取OM＝ON，OE＝OF，连接MF，NE，MF与NE相交于点P，连接OP并延长，射线OP即为所求． 说明：在△OEN和△OFM中， ∴△OEN≌△OFM(SAS)，∴∠OEP＝∠OFP．∵OE＝OF，OM＝ON，∴EM＝FN．在△EPM和△FPN中，∴△EPM≌△FPN(AAS)，∴PM＝PN．在△OPM和△OPN中，∴△OPM≌△OPN(SSS)，∴∠POM＝∠PON，∴OP平分∠AOB． 11．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＞CD，AD＝AB＋CD． (1)利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，求证：AE⊥DE． (1)解：如图，线段DE，AE即为所求． (2)证明：在DA上截取DH＝CD，连接HE，由(1)知∠HDE＝∠CDE．又∵DE＝DE，∴△HDE≌△CDE(SAS)，∴∠DHE＝∠C＝90°，∠DEH＝∠DEC．在△AHE和△ABE中，∠AHE＝∠ABE＝90°，而AD＝AH＋DH＝AB＋CD，DH＝CD，∴AH＝AB．又AE＝AE，∴Rt△AEH≌Rt ... ...