11.3 乘法公式 课件（共35张PPT） 2025-2026学年数学华东师大版（2024）八年级上册

(课件网) 11.3 乘法公式 11.3.1 两数和乘以这两数的差 1.能用多项式乘法推导平方差公式，会用图形的面积割补说明平方差公式. 2.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行计算. 3.会用乘法公式简化运算. 多项式乘多项式 ( a+b )( m+n ) = am +an +bm +bn 计算下列各题： (x+5)(x-5)=_____=_____. (2+a)(2-a)=_____=_____. (2m+1)(2m-1)=_____=_____. x·x-5x+5x-5×5 x -25 2×2-2a+2a-a·a 4-a 2m·2m-2m+2m-1×1 4m -1 观察上述算式和运算结果，你发现了什么？ 等式左边为两个数的和与差的积； 等式右边为这两个数的平方的差. 根据上述规律，可以得到： (a+b)(a-b)=a -b . 这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差. 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有时也简称为平方差公式. a b b 尝试：用几何图形的面积来验证 (a+b)(a-b)=a -b . 一个边长为a的正方形，按左图的方式进行分割，去掉一个边长是b的正方形后，剩余部分拼接为长方形，请你用等式表示图中图形面积变化的运算. a b a a a b a b b b = - _____=_____-_____. (a+b)(a-b) a b 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2. 公式特点： 公式左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数；等号的右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)． 利用这个公式，可以直接计算两数和乘以这两数的差. 例1 计算： (1)(a+3)(a-3). (2)(2a+3b)(2a-3b). (3)(1+2c)(1-2c). (4)(-2x-y)(2x-y). 解： (1) (a+3)(a-3) =a2-32 =a2-9. (2)(2a+3b)(2a-3b) =(2a)2-(3b)2 =4a2-9b2. (4)(-2x-y)(2x -y) =(-y-2x)(-y +2x) =(-y)2 -(2x)2 =y2-4x2. 法二：(-2x-y)(2x-y) =-(2x+y)(2x-y) =-[(2x)2 -y2] =y2-4x2. (3) (1+2c)(1-2c) =12-(2c)2 =1-4c2. 你还有其他解法吗？ 例2 街心花园有一块边长为a米的正方形草坪， 经统一规划后，南北向增加2米，东西向减少2米. 改造后得到一块长方形的草坪.求这块长方形草坪的面积. 解：(a+2)(a-2) = a2- 4. 答：改造后的长方形草坪的面积是(a2-4)平方米. 例3 简便计算：2 018 ×2 022. 解：2 018×2 022 =(2 020-2)×(2 020 +2) =2 0202-22 =4 080 400 -4 =4 080 396. 写成两数和乘以两数差的形式 本题运用转化思想，关键是找到两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行比较，变形成两数和与这两数差的积的形式，再利用平方差公式求解． 根据平方差公式填空： (1)(-3a+2)(-3a-2)=(-3a)2-22=_____； (2)(2x-3)(_____)=4x2-9； (3)(_____)(5a+1)=1-25a2. 下列运算正确的是(　　) A．(a+b)(b-a)=a2-b2 B．(2m+n)(2m-n)=2m2-n2 C．(xm+3)(xm-3)=x2m-9 D．(x-1)(x+1)=(x-1)2 9a2-4 2x+3 1-5a C 运用平方差公式计算： (1) 2 019×2 021-2 0202； (2) 1.03×0.97; (3) 99×101×10 001; (4) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1; (5) (a+b)2-(a-b)2. 解： (1) 2 019×2 021-2 0202 =(2 020-1)×(2 020+1)-2 0202 =2 0202-1-2 0202 =-1； (2) 1.03×0.97 =(1+0.03)×(1-0.03) =12-0.032 =1-0.000 9 =0.999 1；　 (3) 99×101×10 001 =(100-1)×(100+1) × 10 001 =(1002-1 )× 10 001 =(10 000-1)×(10 000+1) =10 0002-1 =99 999 999； (4) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(24-1)(24+1)(28+1)+1 =(28-1)(28+1)+1 =216-1+1 =216； (2+1)(22+1)(24+1)(28+1) = 1×(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)， 再根据 1=2-1进行变式计算 (5)(a+b)2-(a-b)2 =[(a+b)-(a-b)][(a+b)+(a-b)] =(a+b-a+b)(a+b+a-b) =2b·2a =4ab； 平方差公式的逆用： a2-b2=(a+b)(a-b)． 平方差公式： ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 左边是两个二项式 ... ...