11.5 因式分解 课件（共39张PPT） 2025-2026学年数学华东师大版（2024）八年级上册

(课件网) 11.5 因式分解 11.5 课时1 提公因式法 2.通过探究多项式因式分解的过程，能够确认多项式的公因式，会运用提公因式法分解因式. 1.理解因式分解的定义及它与整式乘法的联系; 本章我们学习了整式的乘法，它分为几种形式 计算： 6ab2-3a2b+3ab2； 6a2+13ab+6b2； a3+4a2b+6ab2+4b3. 单项式与单项式相乘； 单项式与多项式相乘； 多项式与多项式相乘. 3a·(2b2-ab+b2)= (3a+2b)(3b+2a)= (a+2b)(a2+2ab+2b2)= 讨论：210能被哪些质数整除？ 分析：要解决这个问题，需要把210分解为几个质数 相乘的形式. 解：210=2×3×5×7，所以210能被2、3、5、7整除. 类似地，在式的变形中，有时也需要我们把一个多项式写成几个整式的乘积的形式. m·(a+b+c)=_____， (a+1)·a=_____. 观察上面两个等式，可以得到： ma+mb+mc=( )( )， a2+a=( )( ). a+b+c a+1 ma+mb+mc a2+a m a 像等式ma+mb+mc=m(a+b+c) ，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做多项式的分解因式． 试一试 因式分解与整式乘法有何关系 ma+mb+mc m(a+b+c) 因式分解 整式乘法 整式乘法与因式分解是两种互逆的变形， 即：多项式 整式乘积的形式. 因式分解 整式乘法 想一想 判断下列各式是整式乘法还是因式分解 x2-4y2=(x+2y)(x-2y) _____； 2x(x-3y)=2x2-6xy _____； (5a-1)2=25a2-10a+1 _____； x2+4x+4=(x+2)2 _____； (a-3)(a+3)=a2-9 _____； m2-42=(m+4)(m-4) _____； 2πR+2πr=2π(R+r) _____. 因式分解 整式乘法 整式乘法 整式乘法 因式分解 因式分解 因式分解 下列各多项式的结构有什么共同特点？ ax-ay ma+mb+mc 2πR+2πr a m 2π 多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式． 探究发现 多项式中的公因式是如何确定的？ 找出3x2y2–6xy3的公因式： 最大公约数 相同字母 公因式 3 x y x y2 看系数　 观 察方 向 看字母 看指数 最低指数 所以3x2y2–6xy3= 3xy2(x–2y). 思考讨论 确定公因式的方法： 1.看系数：公因式系数是多项式各项系数的最大公约数； 2.看字母：字母是多项式各项中都含有的相同的字母； 3.看字母的指数：各相同字母的指数取次数最低的. 提公因式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取 出来，将多项式分解成公因式与另一个因式的乘积的 形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 用字母表示为：ma+mb+mc＝m(a+b+c)． 例1 把下列多项式分解因式: (1)-5a2 +25a； (2)3a2 -9ab. 解： (1) -5a2+25a =-5a(a - 5)； (2)3a2 -9ab =3a(a-3b). 当多项式的第一项系数是负数时，一般地，先提出负号，再进行因式分解．但应注意，这时留在括号内的每一项的符号都要改变. 提公因式后，另一个因式： ①项数应与原多项式的项数一样； ②不再含有公因式． 例2 用提公因式法将下列各式分解因式： (1) 4x2y3+8x2y2z-12xy2z； (2) -a2b3c+2ab2c3-ab2c； (3) 5x(x-2y)3-20y(2y-x)3. (2)-a2b3c+2ab2c3-ab2c =-(a2b3c-2ab2c3+ab2c) =-ab2c(ab-2c2+1)； 解： (1) 4x2y3+8x2y2z-12xy2z =4xy2(xy+2xz-3z)； (3) 5x(x-2y)3-20y(2y-x)3 =5x(x-2y)3+20y(x-2y)3 =5(x-2y)3(x+4y)． 公因式可以是单项式，也可以是多项式. 1. 2x(-x+y)2-(x-y)3分解因式应提取的公因式是(　　) A．-x+y B．x-y C．(x-y)2 D．以上都不对 解析： ∵ 2x(-x+y)2-(x-y)3=2x(x-y)2-(x-y)3， ∴ 2x(-x+y)2-(x-y)3的公因式为(x-y)2 . C 2. 把下列各式分解因式： (1) 2a2bc+8a3b； (2) a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a). 解： (1) 2a2bc+8a3b =2a2b·c+2a2b·4a =2a2b(c+4a)； (2) a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a) =a(a-b)3+2a2(a-b)2+2ab(a-b) =a(a-b)[(a-b)2+2a(a-b)+2b] =a(a-b)(3a2-4 ... ...