综合与实践 最短路径问题 素养目标 1.能利用轴对称变换解决日常生活中的最短路径问题. 2.能利用轴对称的性质解决几何图形的最值问题. 利用轴对称变换解决最短路径问题. 【自主预习】 最短路径问题一般需要利用轴对称进行变换,往往用到关于线段的基本事实,两点之间, 和垂线段最短. 如图,在4×4正方形网格中,M,N为小正方形的顶点,直线l经过小正方形的顶点A,B,C,D,在直线l上求一点P使PM+PN最短,则点P应位于 ( ) A.点A处 B.点B处 C.点C处 D.点D处 【合作探究】 知识点一：牧民饮马问题 阅读课本本课时“活动一”的内容,解答下列问题. 1.如图,在直线l的同侧有两点A,B,若要在直线l上找一点C,使其到点A,B的距离之和最短.我们可以考虑在直线l的另一侧找一个点B',使直线l上的任一点C到点B和点B'的距离始终 .因此,只需作出点B关于直线l的 ,根据轴对称的性质,可知CB= ,于是连接AB',与直线l的交点C即所求的点. 当两点在一条直线的 侧时,通过作其中一点关于直线的 点,连接对称点与另一点的线段,即最短的路径,其依据是“两点之间,线段 ———,其中线段与直线的 就是所要找的点. 知识点二：牧民饮马问题的拓展 阅读课本本课时“活动二”的内容,解答下列问题. 1.如图1,分别作点A关于草地边沿的 B和河的边沿的 C,连接BC交草地边沿和河的边沿于点D,E,连接AD,AE,就可以得到路径A-D-E-A最短. 图1 2.如图2,作点A关于草地边沿的 A',作点B关于河的边沿的 B',连接A'B'交草地边沿和河的边沿于点Q,P,连接AQ,BP,就可以得到路径A-Q-P-B最短. 图2 3.如图3,作点A关于草地边沿的 D,作点A关于河的边沿的 E,连接DE交草地边沿和河的边沿于点B,C,连接AB,AC,就可以得到路径A-B-C-A最短. 图3 关于一点或两点与两条直线的最短路径问题:1.当只有一点时,一般分别作这点关于两条直线的 ,连接两个对称点交两条直线,再连接这点与交点的线段就可得到最短路径为这个点与两个交点构成的三角形的三边长; 2.当有两个点时,一般分别作这两个点关于各自 的一条直线的 ,连接这两个对称点交两条直线,再连接这两个点与交点的线段就可得到最短路径. 如图,牧马营地在点P处,每天牧马人要赶着马群先到草地a处吃草,再到河边b饮水,最后回到营地,点P到a,b的距离分别为5km,6km,则牧马人所走最短的放牧总路程可能是 ( ) A.22km B.21km C.24km D.23km 知识点三：造桥选址问题 阅读课本本课时“活动三”的内容,解答下列问题. 在造桥选址问题中,考虑将两条直线平移后重 合,从而将问题转化为前面的知识进行解决.如图,将点A沿与a垂直的方向平移 的距离,连接A'B,交直线b于点N,作MN⊥b,线段 即桥的位置. 在解决最短路径问题时,我们通常利用 、 等变换把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择. 题型1 最短路径与几何图形中的最值问题 例1 如图,在△ABC中,AB=4,AC=6,EF垂直平分线段BC,P是直线EF上的任意一点,求△ABP周长的最小值. 题型2 最短路径的实际应用 例2 (真情境)某班举行文艺晚会,桌子摆成两条直线(如图中的AO,BO),AO桌面上摆满橘子,OB桌面上摆满了糖果,坐在C处的学生小明想先拿橘子再拿糖果,然后坐到空座位D上.请你帮他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短. 参考答案 【自主预习】 预学思考 线段最短. 自学检测 C 【合作探究】 知识点一 相等 对称点B' CB' 归纳总结 同 对称 最短 交点 知识点二 1.对称点 对称点 2.对称点 对称点 3.对称点 对称点 归纳总结 对称点 靠近 对称点 对点训练 B 知识点三 河宽 MN 归纳总结 轴对称 平移 题型精讲 题型1 例1 解:如图,连接PC. ∵EF垂直平分线段BC, ∴PB=PC, ∴PA+PB=PA+PC≥AC=6, ∴PA+PB的最小值为6 ... ...
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