24.3 正多边形和圆 素养目标 1.知道正多边形和圆的关系,知道正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念. 2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题. 3.会用量角器等分圆,会用尺规作图作圆内接正方形和正六边形. ◎重点:正多边形和圆的关系以及正多边形的画法. 【预习导学】 知识点一：正多边形的有关概念 请按照你对正多边形相关概念的理解进行填空. 如图,等边△ABC是☉O的 三角形,☉O是等边△ABC的 圆, 是△ABC的中心, 是△ABC的半径, 是△ABC的中心角, 的长是边心距. 知识点二：正多边形的画法 活动一:一般正n边形的画法 请根据课本中提供的方法,在下图中画出圆的内接正五边形,并试着总结正多边形的画法. 归纳总结 在圆内作相等的 可以等分圆周,顺次连接各分点,即可得正多边形. 活动二:特殊的正n边形的画法 请按照课本中所提供的特殊正多边形的画法,在下面两个圆中分别画出圆内接正方形和正六边形. 【合作探究】 任务驱动一：正多边形的半径、边长、边心距之间的关系 1.如图,四边形ABCD是☉O的内接正方形,若正方形的面积等于4,求☉O的面积. 变式演练 正六边形的边心距与边长之比为 . 方法归纳交流 正多边形的半径、边心距和边长的一半构成 三角形,可以用勾股定理求解. 任务驱动二：与正多边形有关的角的计算 2.如图,正八边形ABCDEFGH内接于圆O,P是 上任意一点,则∠CPE的度数为 ( ) A.30° B.15° C.60° D.45° 变式演练 如图1,2,3,…,n,M,N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n+2边形ABCDE…的边AB,BC上的点,且BM=CN,连接OM,ON. (1)求图1中∠MON的度数. (2)图2中∠MON的度数是 ,图3中∠MON的度数是 . (3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.(直接写出答案) 参考答案 【预习导学】 知识点一 内接 外接 点O OA(或OC) ∠AOC OD 知识点二 活动一: 解: 归纳总结 圆心角 活动二: 解: 【合作探究】 任务驱动一 1.解:如图,连接OB,OC.∵正方形的面积为4,∴BC=2. 在Rt△BOC中,OB=OC,根据勾股定理得OB2+OC2=BC2,∴OB2=2, ∴☉O的面积为2π. 变式演练 方法归纳交流 直角 任务驱动二 2.D 变式演练 解:(1)如图,连接OB,OC. ∵等边△ABC内接于☉O, ∴∠OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°. ∵BM=CN,OB=OC, ∴△OBM≌△OCN, ∴∠BOM=∠CON,∴∠MON=∠BOC=120°. (2)90°;72°. (3)∠MON=.
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