【学霸笔记：同步精讲】第二章 2.5 2.5.2 椭圆的几何性质 课件--2026版高中数学人教B版选必修1

(课件网) 复习任务群一 现代文阅读Ⅰ 把握共性之“新”　打通应考之“脉” 第二章 平面解析几何 2.5　椭圆及其方程 2.5.2　椭圆的几何性质 学习任务 1．根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质，并正确画出它的图形．(直观想象) 2．根据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆的方程研究它的性质、图形．(数学运算、逻辑推理) 奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处．当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有)，所以能产生很好的听觉效果．其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？ 必备知识·情境导学探新知 知识点1　椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 图形 对称性 对称轴为_____，对称中心为_____ x轴和y轴 (0，0) 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 范围 x∈_____，y∈_____ x∈_____，y∈_____ 顶点 _____ _____ 轴长 短轴|B1B2|＝____，长轴|A1A2|＝____ [－a，a] [－b，b] [－b，b] [－a，a] A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 2b 2a 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点 _____ _____ 焦距 |F1F2|＝___ 离心率 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c 思考1．椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？ [提示]　最大距离：a＋c；最小距离：a－c． 知识点2　椭圆离心率e的几何意义 椭圆离心率的意义：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度． 当e越趋近于1时，c越趋近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁； 当e越趋近于0时，c越趋近于0，从而b＝越趋近于a，因此椭圆越接近于圆； 当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程变为x2＋y2＝a2． 思考2．或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？ [提示]　或的大小能刻画椭圆的扁平程度． (1)当→1时，b→a，椭圆越圆；当→0时，b→0，椭圆越扁． (2)当→0时，c→0，此时b→a，椭圆越圆；当→＋∞时，b→0，此时c→a，椭圆越扁． 1．椭圆x2＋4y2＝4的离心率为(　　) A．　 　　B．　　　C．　 　　D． A　[化椭圆方程为标准形式得＋y2＝1， 所以a2＝4，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝3． 所以e＝．] √ 2．椭圆＝1的焦点坐标是_____，顶点坐标是_____． 　(±3，0)，(0，±4)　[由方程＝1知焦点在y轴上，所以a2＝16，b2＝9，c2＝a2－b2＝7． 因此焦点坐标为，顶点坐标为(±3，0)，(0，±4)．] (±3，0)，(0，±4) 3．经过点P(－3，0)，Q(0，－2)的椭圆的标准方程为_____． ＝1　[由题意知点P(－3，0)，Q(0，－2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点， 故椭圆的焦点在x轴上，且a＝3，b＝2， 故椭圆的标准方程为＝1．] ＝1　 4．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＝1的形状，则_____更扁(填序号)． ①　[x2＋9y2＝36化为标准方程得＝1，故离心率e1＝；椭圆＝1的离心率e2＝．因为e1＞e2，所以①更扁．] ① 关键能力·合作探究释疑难 类型1　利用椭圆的标准方程研究其几何性质 【例1】　【链接教材P138例1】 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标． [解]　把已知方程化成标准方程为＝1，所以a＝4，b＝3，c＝，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，离心率e＝， 两个焦点坐标分别是， 四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)，(0，3)． 【教材原题·P138例1】 【例1】　求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率： (1)＝1； (2)8x2＋3y2＝24． [解]　(1)由36>24可知这个椭 ... ...