【学霸笔记：同步精讲】课时分层作业25 直线的方向向量与平面的法向量 练习--2026版高中数学北师大版选必修1

课时分层作业(二十五) 1．C　[对于A，根据直线的方向向量的定义及平面的法向量的定义可知，若直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量，是正确的： 对于B，由平面的法向量的定义可知，若n是平面α的一个法向量，则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直，是正确的： 对于C，由平面的法向量的定义可知，0是任意一个平面的一个法向量，是错误的： 对于D，由平面的法向量的定义可知，一个平面的法向量是不唯一的，是正确的． 故选C．] 2．C　[经检验，只有向量(－1，－7，5)分别与垂直，故选C．] 3．A　[由题意知，点P在平面α内 ⊥n ·n＝0，经检验选项A符合题意．] 4．C　[设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量， 则 ∴x＝y＝z．] 5．A　[∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)，＝(－1，2－y，z－3)， ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)， 故设＝km． ∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k． 解得k＝－，y＝z＝．∴y－z＝0．] 6．，其中z≠0 7．45°　[∵正四棱锥底面为正方形，∴BD⊥AC，SO⊥AC，又∵BD∩SO＝O，∴AC⊥平面SBD． ∴为平面SBD的一个法向量． ∴<>＝45°．] 8．4　　[∵， ∴·＝0， 即3＋5－2z＝0，得z＝4， 又BP⊥平面ABC， ∴， 则 ∴x＋y＝．] 9．解：(1)取AD的中点M，连接MF， ∵E，F分别是PC，PB的中点， ∴EF∥BC且EF＝BC， 又BC∥AD且BC＝AD， ∴EF∥AD且EF＝AD， 则由EF∥DM且EF＝DM知四边形DEFM是平行四边形， ∴MF∥DE，∴就是直线DE的一个方向向量． (2)∵PD⊥平面ABCD， ∴PD⊥BC，又BC⊥CD，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD， ∵DE 平面PCD， ∴DE⊥BC，又PD＝CD，E为PC中点， ∴DE⊥PC，从而DE⊥平面PBC， ∴是平面PBC的一个法向量，由(1)可知， ∴就是平面PBC的一个法向量． 10．解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，，0)，E，B(1，0，0)，C(1，，0)， 于是＝(1，，0)． 设n＝(x，y，z)为平面ACE的一个法向量， 则 所以 令y＝－1，则x＝z＝． 所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)． 11．AC　[依题意得＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，不存在实数λ，使得成立，即不共线，A不正确： 与×(2，1，0)＝，B正确： ＝(－3，1，1)，则，C不正确： 设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，则y＝－2，z＝5，即n＝(1，－2，5)是平面ABC的一个法向量，D正确． 故选AC．] 12．BC　[∵AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC， ∴可以作为平面ABC的法向量．] 13．　[由OP⊥OQ，得·＝0． 即(2cos x＋1)·cos x＋(2cos 2x＋2)·(－1)＝0． ∴cos x＝0或cos x＝． ∵x∈[0，π]，∴x＝．] 14．解：(1)证明：∵·＝－2－2＋4＝0， ∴AP⊥AB． 又∵·＝－4＋4＋0＝0， ∴AP⊥AD． ∵AB，AD是底面ABCD上的两条相交直线， ∴AP⊥底面ABCD． (2)设的夹角为θ，则cos θ＝， V＝|·||·sin θ·|＝16． (3)|()·|＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱锥P ABCD体积的3倍． 猜测：|()·|在几何上可表示以AB，AD，AP为棱的平行六面体的体积． 1 / 1课时分层作业(二十五)　直线的方向向量与平面的法向量 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共102分 一、选择题 1．下列说法不正确的是(　　) A．若直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量 B．若n是平面α的一个法向量，则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直 C．0是任意一个平面的一个法向量 D．一个平面的法向量是不唯一的 2．若＝(1，2，3)，＝(－1，3，4)，则以下向量中，能成为平面OAB的法向量的是(　　) A．(1，7，5)　　　　　 B．(1，－7，5) C．(－1，－7，5)　 ... ...