【学霸笔记：同步精讲】第5章 5.2.3 简单复合函数的导数 讲义--2026版高中数学苏教版选必修1

5.2.3　简单复合函数的导数 学习任务 核心素养 1．了解复合函数的概念．(易混点) 2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．(重点、易错点) 1．通过对复合函数求导公式的学习，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养． 2．借助对复合函数求导及导数运算法则的综合应用，提升数学运算的核心素养． 海上一艘油轮发生了泄漏事故．泄出的原油在海面上形成一个圆形油膜，油膜的面积S(单位：m2)是油膜半径r(单位：m)的函数：S＝f(r)＝πr2． 油膜的半径r随着时间t(单位：s)的增加而扩大，假设r关于t的函数为r＝φ(t)＝2t＋1． 思考：油膜的面积S关于时间t的瞬时变化率是多少？如何对该函数求导？ 知识点1　复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成关于x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作_____． 函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ _____ 知识点2　复合函数的求导法则 对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝_____． 特别地，若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝_____． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝sin (πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx．(　　) (2)f(x)＝ln (3x－1)，则f′(x)＝．(　　) (3)f(x)＝x2cos 2x，则f′(x)＝2x cos 2x＋2x2sin 2x．(　　) 2．函数y＝的导数是(　　) A． B． C．－ D．－ 3．下列对函数的求导正确的是(　　) A．y＝(1－2x)3，则y′＝3(1－2x)2 B．y＝log2(2x＋1)，则y′＝ C．y＝cos ，则y′＝sin D．y＝22x-1，则y′＝22xln 2 类型1　复合函数的导数 【例1】　【链接教材P207例4】 求下列函数的导数： (1)y＝e2x+1；(2)y＝； (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝． [尝试解答]　_____ _____ _____ _____ 　1．解答此类问题常犯的两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤 [跟进训练] 1．求下列函数的导数： (1)y＝103x-2；(2)y＝ln (ex＋x2)； (3)y＝x． _____ _____ 类型2　三角函数型函数的导数 【例2】　求下列函数的导数： (1)y＝cos ； (2)y＝x2＋tan x． [尝试解答]　_____ _____ _____ 　三角函数型函数的求导要求 对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导． 复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导． [跟进训练] 2．求下列函数的导数： (1)y＝sin2；(2)y＝sin3x＋sinx3； (3)y＝cos4x－sin4x． _____ _____ 类型3　导数运算法则的综合应用 【例3】　(1)曲线y＝f(x)＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A．　　 　B．2　　 　C．3　　 　D．0 (2)设曲线y＝f(x)＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝_____． [尝试解答]　_____ _____ [母题探究] 1．(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线y＝f(x)＝ln (2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2”，求m的值． [尝试解答]　_____ _____ 2．(变条件、变结论)把本例(1)的条件变为“若直线y＝kx＋b是y＝ln x＋2的切线，也是y＝ln (x＋1)的切线”，求b的值． [尝试解答]　_____ _____ 　利用导数的几何意义解题时的注意点 (1)求曲线过某一定点的切线方程或斜率时，首先应判断所给定点是不是切点，如果不是，需将切点坐标设出． (2)切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点坐标代入两者的函数解析式建立方程组． (3)如果切线的斜率存在，那么函数在切点处的导数值等于切线的斜 ... ...