【学霸笔记：同步精讲】第4章 4.1 第2课时 数列的递推公式 讲义--2026版高中数学苏教版选必修1

第2课时　数列的递推公式 学习任务 核心素养 1．理解递推公式的含义．(重点) 2．掌握递推公式的应用．(难点) 借助数列的递推公式求具体项或求通项，培养数学运算与逻辑推理素养． 看下面例子： (1)1，2，4，8，16，…． (2)1，cos 1，cos (cos 1)，cos [cos (cos 1)]，…． (3)0，1，4，7，10，13． 请同学们分析一下，从第二项起，后一项与前一项有什么关系？ 知识点1　数列的递推公式 (1)两个条件： ①已知数列的第1项(或前几项)； ②任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示． (2)结论：具备以上两个条件的公式叫作这个数列的递推公式． 1．所有数列都有递推公式吗？ [提示]　不一定．例如精确到1，0.1，0.01，0.001，…的近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，…没有递推公式． 1．已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝，此数列的第3项是(　　) A．1　　　　B．　　　　C．　　　　D． C　[∵an＋1＝，a1＝1，∴a2＝．故选C．] 2．数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a2 027的值为(　　) A． B．－1 C．2 D．1 A　[由an＋1＝1－及a1＝2，得a2＝，a3＝－1，a4＝2， 至此可发现数列{an}是周期为3的周期数列：2，，－1，…． 而2 027＝675×3＋2，故a2 027＝a2＝．] 知识点2　数列递推公式与通项公式的关系 递推公式 通项公式 区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系 联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 2．仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n2，n∈N*)就能确定这个数列吗？ [提示]　不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的． 3．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是(　　) A．an＝an－1＋2(n2) B．an＝2an－1(n2) C．a1＝2，an＝an－1＋2(n2) D．a1＝2，an＝2an－1(n2) C　[由条件可发现，n2时，an－an－1＝2，即an＝an－1＋2，又a1＝2，故选C．] 类型1　由递推公式求数列中的项 【例1】　【链接教材P136例3】 已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，后面各项由an＝an－1＋an－2(n3)给出． (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项． [解]　(1)∵an＝an－1＋an－2(n3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8． 故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8． (2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝． 故{bn}的前4项依次为b1＝． 【教材原题·P136例3】 试分别根据下列条件，写出数列{an}的前5项： (1)a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*； (2)a1＝2，an＋1＝2－，其中n∈N*． [解]　(1)因为a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*， 所以 a3＝a2＋2a1＝2＋2×1＝4， a4＝a3＋2a2＝4＋2×2＝8， a5＝a4＋2a3＝8＋2×4＝16． 因此，数列{an}的前5项依次为1，2，4，8，16． (2)因为a1＝2，an＋1＝2－，其中n∈N*，所以 a2＝2－， a3＝2－， a4＝2－， a5＝2－． 因此，数列{an}的前5项依次为2，． 　由递推公式写出数列的项的方法 (1)在递推公式中令n＝1，2，3，4，5，…，结合a1的值，即可求出数列的前几项． (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1． (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝． [跟进训练] 1．已知数列{an}的第1项a1＝1，后面的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项． [解]　∵a1＝1，an＋1＝， ∴a2＝， a4＝， a5＝． 故该数列的前5项为1，． 类型2　数列的单调性 【例2】　 ... ...