【学霸笔记：同步精讲】第1章 1.1 第1课时 数列的概念及简单表示 讲义--2026版高中数学湘教版选必修1

1.1　数列的概念 第1课时　数列的概念及简单表示 学习任务 核心素养 1．理解数列的概念．(重点) 2．掌握数列的通项公式及应用．(重点) 3．理解数列是一种特殊的函数，理解数列与函数的关系．(易混点、难点) 4．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(难点、易错点) 1．通过数列概念及数列通项的学习，体现了数学抽象及逻辑推理素养． 2．借助数列通项公式的应用，培养逻辑推理及数学运算素养． 在生活与学习中，为了方便，我们常常用一组有规律的数记录某一活动或数量关系．如三角形数、正方形数．古语云：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏．”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量，则每日的高度值按日期排列在一起，就可以组成一个数列，同样，对“磨刀之石”用精密仪器测量，则每日的质量按日期排起来，也可得到一个数列． 你能举出几组有规律的数列吗？试想什么是数列？ 知识点1　数列的概念及分类 1．数列及其相关的概念 (1)数列：按照一定顺序排成的一列数叫作数列． (2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项，排在第一位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项，排在第二位的数叫作数列的第2项，…，排在第n位的数叫作数列的第n项． 2．数列的一般形式 数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为{an}． 3．数列的分类 只有有限多项的数列称为有穷数列，有无穷多项的数列称为无穷数列． 1．(1)数列的项和它的项数是否相同？ (2)数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区别？ [提示]　(1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数． (2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性． 知识点2　数列的通项公式、数列与函数的关系 1．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式就称为数列{an}的通项公式． 2．数列与函数的关系 定义域 正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值f (1)，f (2)，f (3)，… 表示 方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 2．数列的通项公式an＝f (n)与函数解析式y＝f (x)有什么异同？ [提示]　如图，数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，an＝f (n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集． 根据数列的前4项，写出数列的一个通项公式． (1)2，4，6，8，…； (2)2，4，8，16，…． [解]　(1)an＝2n(n∈N＋)． (2)an＝2n(n∈N＋)． 类型1　数列有关概念 【例1】　下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由． (1){0，1，2，3，4}是有穷数列； (2)所有自然数能构成数列； (3)－3，－1，1，x，5，7，y，11是一个项数为8的数列； (4)数列1，3，5，7，…，2n＋1，…的通项公式是an＝2n＋1． [解]　(1)错误．{0，1，2，3，4}是集合，不是数列． (2)正确．如将所有自然数按从小到大的顺序排列． (3)错误．当x，y代表数时为项数为8的数列；当x，y中有一个不代表数时，便不是数列，这是因为数列必须是由一列数按一定的次序排列所组成． (4)错误．数列1，3，5，7，…，2n＋1，…的第n项为2n－1，故通项公式为an＝2n－1． 　1．数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它 ... ...