1.2 提公因式法 课件(共20张PPT)2025-2026学年湘教版（2024）八年级数学上册

(课件网) 第1章 因式分解 1.2 提公因式法 湘教版八年级上册 问题1：整数 18，12，30 的最大公因数是什么？ 18 = 2×3×3 12 = 2×2×3 30 = 2×3×5 6 问题2：多项式 z2 + yz 中每一项的因式分别是什么？你发现什么？ z2 的因式是 z 和 z yz 的因式是 y 和 z 每一项中都有因式z 复习导入 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ pa + pb + pc m2 ＋ m 相同因式p 相同因式m 多项式几个项的相同因式称为它们的公因式. 探究一：提单项式公因式 合作探究 pa + pb + pc =p (a + b + c) 定义 像上面这样，如果一个多项式的各项有公因式，使用多项式的乘法对加法的分配律，可以把所有公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫作提公因式法. 知识要点 思考：如何确定一个多项式的公因式？ 找 3 x 2 – 6 x y 的公因式. 系数： 最大公因数 3 x 字母： 相同字母 1 指数： 相同字母的最低次数 ∴公因式为3x 正确找出多项式的公因式的步骤： 1. 定系数：对于整数系数的多项式来说，公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数； 2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即相同字母的最低次数. 归纳总结 找一找：下列各多项式的公因式是什么？ (1) 3x + 6y (2) ab - 2ac (3) 5a2 - 4a3 (4) 9m2n - 6mn (5) - 6x3y - 8x2y2 3 a a2 3mn -2x2y 练一练 例1 把多项式 8x2y4－12xy2z 因式分解． 分析： 1. 定系数：多项式由 8x2y4 和 －12xy2z 这两项组成，它们的系数分别为 8，－12，不考虑其符号，则 8 与 12 的最大公因数是 4； 2. 定字母：这两项都含有字母 x，y； 3. 定指数： x 的最低次数为 1，y的最低次数为2. 因此，可提出公因式 4xy2. 解：原式=4xy2·2xy2 - 4xy2·3z =4xy2(2xy2 - 3z) 典例精析 例2 把多项式 5x －3xy＋x 因式分解. 分析： 1. 定系数：多项式由 5x ，－3xy 和 x 这三项组成，它们的系数分别为 5，－3，1，不考虑其符号，则5，3，1的最大公因数是 1； 2. 定字母：这两项都含有字母 x； 3. 定指数： x 的最低次数为 1. 因此，可提出公因式 x. 解：5x －3xy＋x＝x(5x－3y＋1). 注意：不要漏掉 这一项的“1” 例3 把多项式 －3x ＋6xy－3xz 因式分解. 分析：多项式 －3x ＋6xy－3xz 的首项系数为负数，一般先将负号提取出来，此时括号内各项都要改变符号，然后进行因式分解. 解：－3x ＋6xy－3xz = －(3x －6xy＋3xz) =－3x(x－2y＋z). 注意：首项有负常提负. 1.因式分解： (1) 3a3c2＋12ab3c； (2) 3a －9ab； (3) －5a + 25a. 解：(1) 3a3c2＋12ab3c＝3ac(a2c＋4b3). (2) 3a －9ab = 3a(а－3b). (3) －5a + 25a = －5a(a－5). 练一练 2. 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值. 解：因为 a＋b＝7，ab＝4， 所以 原式＝ab(a ＋ b)＝4×7＝28. 方法总结 含 a±b，ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用 a±b 和 ab表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入即可. 探究二：提多项式公因式 问题：下列多项式的各项有公因式吗？应该怎样因式分解呢？ （1）x(x－2)－y(x－2)； （2）x(x－2)－y(2－x). 看作整体 变形为-(x-2) 解：(1) 原式＝(x－2)(x－y). (2) 原式＝x(x－2)+y(x-2) ＝(x-2)(x+y) 合作探究 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积. 提公因式法步骤（分两步） 注意：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是含有多项式因式的形式. 整体思想是数学中一种重要且常用的思想方法. 归纳总结 例4 因式分解： (1) 2a(b＋c)－3(b＋c)； (2) (a＋b)(a－b)－a－b. 解：(1) 原式＝(2a－3)(b＋c). (2) 原式＝(a＋b)(a－b)－(a＋b) ... ...