15.3.1 课时1 等腰三角形的性质 学案 【素养目标】 1. 探索并证明等腰三角形的两条性质（等边对等角，三线合一）。（重点） 2. 运用等腰三角形的性质进行证明和计算。（重点、难点） 3. 经历观察、实验、猜想、论证的过程，体会等腰三角形性质的几何证明的逻辑严密性与科学性， 提升推理能力。 【情境导入】 在故宫博物馆中，有很多建筑设计成等腰三角形， 例如下图的中和殿的屋檐设计， 你能说说为什么吗？ 中和殿 【知识链接】 等腰三角形中，相等的两边都叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。 【合作探究】 探究点： 等腰三角形的性质 操作1：如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到 有什么特点？ 操作2: 把剪出的等腰三角形 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角。 重合的线段： 重合的角： 思考： 在等腰三角形 中， 是什么特殊的线段？ 猜想：等腰三角形有什么性质？ 说说你的猜想。 操作3：在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请你试着折一折。 你的猜想仍然成立吗？ 思考： 如何证明你的猜想呢？ 证明：等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等。 已知： 如图，在 中， . 求证： . 方法1: 作底边上的中线。 方法2: 作底边上的高线。 方法3: 作顶角的角平分线 . 等腰三角形的性质1 ：等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）。 几何语言： 是等腰三角形， （等角对等边）。 例1 如图，在 中， ，点 在 上， . 求 各角的度数。 已知： 如图，在 中， ，求证 平分 . 等腰三角形的性质2 : 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 （简写成“三线合一”，注意：腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质。）。 几何语言 三线合一 (1) 是等腰三角形， （已知） （等腰三角形的“三线合一”） (2) 是等腰三角形， （已知） , ( _____ ) (3) 是等腰三角形， , _____ .（等腰三角形的 “三线合一” ） 例2 如图，在 中， 是 边上的中线， 是角平分线， . 求 和 的度数。 当堂反馈 1. 如图，在 中， ，点 在 上。 请补充下列推理过程。 (1) , (2) 是中线， _____ _____. (3) 是角平分线， , ; (4) 应用：若 是等腰三角形 的顶角平分线， ，则 _____. 2. 已知等腰三角形 . (1) 若 , ，则 的度数为_____； (2) 若该三角形有一个角为100°，则其底角度数 为_____； (3) 若该三角形有一个角为8或20°则其顶角的度数为_____； (4) 如图，若 ，以点 为圆心， 长为半 径画弧，交 于点 , 则 的度数是_____. 3. 如图， 是等腰三角形， 是的平分线。 若 , 则 的周长是_____. 第3题图 第4题图 4. 如图， , 若 , 则 _____. 5. 如图，点 , 在 的边 上， , 为 的中点，求证： . 参考答案 探究点： 等腰三角形的性质 操作1: 上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即 中 ，所以 是等腰三角形。 操作2: 重合的线段： 和 和 和 . 重合的角： . 思考： 既是顶角的平分线，又是底边上的中线， 也是底边上的高。 猜想： （1）等腰三角形的两个底角相等。 （2）等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合。 操作3: 成立。 思考： 方法1: 作底边上的中线。作底边 的中线 . 在 和 中， （已知）， （已作）， （公共边）， (SSS). . 方法2: 作底边上的高线。 , . 在 与中 ( ). . 方法3: 作顶角的角平分线 .是的角平分线， . 在 与 中， . 例1 解： , , （等边对等角）。 设 ，则 , 从而 . 于是在 中，有 . 解得 . 所以，在 中 . 证明：等腰三角形的性质2 证明： 在 和 中， (SSS). . , . . 例2 解： , . 是边上的中线， ，即 . . 是 的平分线， . 由三角形外角的性质可知， 当堂反馈 1. (1) (2) 2 ; (3) AD BD . (4) 10 . 2. ( ... ...
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