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课件网) 4.4.2 计算函数零点的二分法 核心知识目标 核心素养目标 1.根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解. 2.了解二分法的含义及近似思想、逼近思想及应用. 通过对用二分法求方程的近似解的学习,使学生体会“逐步逼进”的方法,提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 知识探究·素养启迪 1.二分法 对于在区间[a,b]上图象连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 2.二分法求函数零点近似值的步骤 设函数y=f(x)定义在区间D上,其图象是一条连续曲线.求它在D上的一个零点x0的近似值x,使它与零点的误差不超过给定的正数ε,即使得 |x-x0|≤ε. 知识探究 f(a)f(b)<0 零点 (1)在D内取一个闭区间[a,b] D,使f(a)与 f(b) 异号,即f(a)·f(b)<0; (3)如果|m-a|<ε,则取m为f(x)的零点近似值,计算终止; (4)计算f(m),如果f(m)=0,则m就是f(x)的零点,计算终止; (5)f(m)与f(a)同号则令a=m,否则令b=m,再执行(2). 3.二分法求函数零点近似值的程序框图 小试身手 C 1.用“二分法”求y=x2-6的零点时,初始区间可取( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析:f(0)=02-6=-6,f(1)=12-6=-5, f(2)=22-6=-2,f(3)=32-6=3, f(4)=42-6=10,所以f(2)·f(3)<0,故零点在区间(2,3)内.故选C. 2.用二分法求方程x3=2x在区间[1,2]内的实根,取区间中点为x0=1.5,那么下一个有根的区间是 . 解析:令f(x)=x3-2x,因为f(1.5)=0.375>0,f(1)=-1<0,f(2)=4>0,所以取区间(1,1.5). 答案:(1,1.5) 解析:令f(x)=x5+8x3-1, 则f(0)<0,f(0.5)>0, 所以f(0)·f(0.5)<0,所以第一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算的函数值应该为f(0.25). 3.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算f(0)<0, f(0.5)>0,则第一个零点所在的区间是 .第二次应计算的函数值是 (用f(x0)表示). 答案:(0,0.5) f(0.25) 课堂探究·素养培育 [例1] 下列函数中不能用二分法求零点的是( ) 探究点一 二分法概念 解析:观察图象与x轴的交点,若交点附近的函数图象连续,且在交点两侧的函数值符号相异,则可用二分法求零点,而B不能用二分法求零点.故 选B. [即时训练1-1] 下列函数中,能用二分法求零点的是( ) 解析:由题意以及函数零点存在定理可知,只有选项D能够应用二分法求解函数的零点.故选D. 方法总结 判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点.因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用. [例2] 求函数f(x)=x2-5的负零点(精确度0.1). 探究点二 用二分法求函数的零点近似值 解:由于f(-2)=-1<0,f(-3)=4>0,故取区间(-3,-2)作为计算的初始区间, 用二分法逐次计算,列表如下: [即时训练2-1] 求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的一个正数零点(精确度为0.1). 解:由于f(1)=-6<0,f(2)=4>0,可取区间(1,2)作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,列表如下: 方法总结 (1)用二分法求函数的近似零点,合理确定初始区间是关键,能够减少二分的次数. (2)二分法是通过不断地将所选区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,直至找到零点附近足够小的区间,并根据所要求的精确度,用此区间的所有值均可表示零点的近似值. (3)使用二分法所具备的条件 “二分法”与判定函数零点的定义密切相关,只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点. 探究点三 利用二分法求方程的近似解 [例3] 证明方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解.(精确度0.1) [即时训练3-1] ... ...
