湘教版高中数学必修第一册第5章三角函数5.2.2同角三角函数的基本关系课件(共35张PPT)+学案+课时练习含答案（教师用）

5.2.2　同角三角函数的基本关系 核心知识目标 核心素养目标 1.理解同角三角函数的基本关系式. 2.会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简和证明. 通过同角三角函数式的应用,重点强化学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1. (2)商数关系:tan α=(α≠kπ+,k∈Z). 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切(α≠kπ+,k∈Z). 1.已知α是第二象限角,且sin α=,则cos α等于(　D　) A.- B. C. D.- 解析:因为α是第二象限角,所以cos α<0. 又sin α=,所以cos α=-=-.故选D. 2.已知sin α=,α∈(,),tan α等于(　B　) A. B.- C.- D. 解析:根据sin2α+cos2α=1, 得cos2α=1-sin2α=1-()2=. 因为α∈(,),所以cos α<0,所以cos α=-,所以tan α===-.故选B. 3.若=-1,则tan α=　　　　. 解析:原式可化为=-1,解得tan α=2. 答案:2 4.若α∈(0,)且sin αcos α=,则sin α+cos α=　　　　. 解析:(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+=,又因为α∈(0,),sin α>0,cos α>0, 所以sin α+cos α=. 答案: 　sin α,cos α,tan α知一求二 [例1] (1)若α是△ABC的一个内角,且cos α=-,求sin α,tan α的值; (2)若sin α=,求tan α的值; (3)若tan α=-,求sin α的值. 解:(1)因为α是△ABC的一个内角, 且cos α=-, 所以<α<π, 所以sin α===, 所以tan α===-. (2)因为sin α=>0, 所以α是第一、第二象限角. 当α是第一象限角时, cos α===, 此时tan α=; 当α是第二象限角时, cos α=- =-=-, 此时tan α=-. 综上,当α是第一象限角时,tan α=; 当α是第二象限角时,tan α=-. (3)因为tan α=-<0, 所以α是第二、第四象限角. 由 可得sin2α=()2, 当α是第二象限角时,sin α=; 当α是第四象限角时,sin α=-. [即时训练1-1] 已知cos α=-,求sin α,tan α的值. 解:因为cos α=-<0, 所以α是第二、第三象限角. 若α是第二象限角,则sin α>0,tan α<0, 所以sin α===, tan α==-; 若α是第三象限角,则sin α<0,tan α>0, 所以sin α=-=-=-, tan α==. 利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法 (1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值,要注意公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系; (2)若角α所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果. (3)记住常见的“勾股数”如6,8,10;5,12,13;8,15,17等可以方便解题. 　已知正切值求值 [例2] 已知=2,求下列各式的值. (1); (2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α. 解:由=2,得tan α=2. (1)===. (2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α = = = ==1. [即时训练2-1] 已知tan α=3,求下列各式的值. (1); (2); (3)cos2α-3sin αcos α. 解:(1)由于tan α=3, 故==. (2)==. (3)cos2α-3sin αcos α===-. 已知角α的正切值,求由sin α和cos α构成的代数式的值,构成的代数式通常是分式齐次式或整式齐次式. (1)形如的分式,可将分子、分母同时除以cos α;形如的分式,可将分子、分母同时除以cos2α,将正、余弦转化为正切求值. (2)形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α(a,b,c不全为0)的齐次式,可以将分母看作是1=sin2α+cos2α,转化为的分式求值. 注意:涉及常数时,如sin2α+k,则将k转化为ksin2α+kcos2α后转化为(2)的形式,但涉及(k,t为常数),则需转化为(1)求解. 　三角函数式的化简与证明 探究角度1　三角函数式的化简 [例3] (1)化简; (2)若x是第二象限角,化简·. 解:(1)原式= = = ==1. (2)原式=· =· =· =·. 因为x为第二象限角,所以sin x>0, 所以原式==1. [即时训练3-1] 化简-(α为第二象限角). 解:因为α是第二象限角,所以co ... ...