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课件网) 5.3 三角函数的图象与性质 5.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质 核心知识目标 核心素养目标 1.能利用三角函数的定义,画出函数y=sin x, y=cos x的图象. 2.掌握“五点法”画y=sin x,y=cos x的图象的步骤和方法,能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线. 3.理解y=sin x与y=cos x图象之间的联系. 4.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 5.掌握函数y=sin x,y=cos x的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性. 6.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值. 7.掌握y=sin x,y=cos x的单调性并能利用单调性比较大小. 1.通过对正弦函数、余弦函数的图象的学习与应用,提升直观想象、逻辑推理的核心素养. 2.利用y=sin x,y=cos x的图象,探索y=sin x,y=cos x的周期性、奇偶性,培养学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象的核心素养. 3.借助y=sin x与y=cos x的图象,理清单调区间和取得最值的条件,强化学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 第1课时 正弦函数、余弦函数的图象及周期性和奇偶性 知识探究·素养启迪 1.正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图步骤 (1)列表 知识探究 (3)用光滑曲线顺次连接这五个点,得到正弦曲线、余弦曲线的简图. 2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 (1)周期性 ①周期 一般地,对于函数y=f(x),如果存在非零常数T,使得当x取定义域内每一个值时,x±T都有定 义,并且f(x±T)=f(x), 则称这个函数y=f(x)为周期函数,T称为这个函数的一个周期. 如果T是函数y=f(x)的周期,则T的所有非零整数倍都是y=f(x)的周期. ②y=sin x和y=cos x的周期 y=sin x,y=cos x都是周期函数,2π及2π的所有非零整数倍也都是它们的周期.但从图象上可以看出,比2π更小的正数不可能是y=sin x,y=cos x的周期.我们称2π是y=sin x,y=cos x的最小正周期.最小正周期常简称为周期. (2)奇偶性 正弦函数y=sin x是奇函数, 余弦函数y=cos x是偶函数. 小试身手 A D C 4.函数y=4sin(2x+π)的图象关于 对称. 解析:y=4sin(2x+π)=-4sin 2x,易证函数为奇函数,所以其图象关于原点对称. 答案:原点 课堂探究·素养培育 [例1] 用“五点法”作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图并观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间. (1)y>1;(2)y<1. 探究点一 “五点法”作图的应用 解:找到五个关键点,列表如下 描点并连线得 由图可知图象在y=1上方时y>1, 在y=1下方时y<1, 所以(1)当x∈(-π,0)时,y>1; (2)当x∈(0,π)时,y<1. [即时训练1-1] 利用“五点法”作出函数y=-1-cos x(0≤x≤2π)的简图. 解:取值列表如下: 描点连线,如图所示. 方法总结 用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)或y=Acos x+b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤 (1)列表: (3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,就得到正(余)弦函数y=Asin x+b(y=Acos x+b)(A≠0)在[0,2π]上的图象. 易错警示 用“五点法”作函数图象时,连线要保持光滑,注意凸凹方向. 探究点二 正、余弦函数的周期性 [例2] 求下列函数的周期. (2)f(x)=|sin x|. 解:(2)法一 (定义法) 因为f(x)=|sin x|, 所以f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin x|=f(x), 所以f(x)的周期为π. 法二 (图象法) 因为函数y=|sin x|的图象如图所示. 由图象可知T=π. [即时训练2-1] 求下列函数的周期. [即时训练2-1] 求下列函数的周期. (2)y=cos |x|. 解:(2)作出y=cos |x|的图象如图所示. 易知函数的周期T=2π. 方法总结 求三角函数周期的方法 (1)定义法,即利用周期函数的定义求解. (3)观察法,即通过观察函数图象求其周期. 易错警示 y=|cos x|与y=|sin x|均是周期为π的周期函数,而y=cos |x|是周期为2π的周期函数,y=sin |x|则不是周期函数. 探究点三 正、余 ... ...
