5.1.2 弧度制 【学习目标】 1.能类比角度制的定义,解释弧度制, 理解1弧度的角的定义,了解弧度制的概念,能进行角度与弧度之间的互化,体会引入弧度制的必要性. 2.能说明弧度制下的弧长、扇形面积等公式的简洁性,理解弧度制下弧长与面积公式,进一步认识引入弧度制的意义. ◆ 知识点一 角度制与弧度制 1.度量角的两种单位制 角度制 定义 用 作为单位来度量角的单位制 1度的角 周角的 为1度的角,记作1° 弧度制 定义 以 为单位来度量角的单位制 1弧度的角 长度等于 的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,1弧度记作 2.弧度数的计算:在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,那么角α的弧度数的绝对值|α|= . 3.弧度数:正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是一个 ,零角的弧度数是 . 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. ( ) (2)1 rad的角和1°的角大小相等. ( ) (3)用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径有关. ( ) (4)每个弧度制下的角,都有唯一的角度制下的角与之对应. ( ) (5)比值与所取的圆的半径大小有关. ( ) ◆ 知识点二 角度制与弧度制的互化 1.角度与弧度的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°= rad 2π rad= 180°= rad π rad= (续表) 角度化弧度 弧度化角度 1°= rad≈0.017 45 rad 1 rad=°≈57.30° 角度数×=弧度数 弧度数×°=角度数 牢记180°=π rad,1 rad=°. 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 90° 120° 135° 150° 270° 360° 弧度 π 【诊断分析】 填空(弧度化为角度,角度化为弧度). (1)- rad= ; (2)10°= rad. ◆ 知识点三 弧长公式与扇形面积公式 角度制与弧度制下扇形的弧长与面积公式(r是扇形所在圆的半径,扇形的圆心角为n°) 度量制 公式 弧长公式 扇形面积公式 角度制 l= S= 弧度制 l= (0<|α|<2π) S= = (0<|α|<2π) ◆ 探究点一 弧度制的概念 例1 (1)下列说法中正确的是 ( ) A.1弧度是1度的圆心角所对的圆弧 B.1弧度是长度为半径的圆弧 C.1弧度是1度的圆弧与1度的角的和 D.1弧度是长度等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小,弧度是角的一种度量单位 (2)下列说法中正确的是 ( ) A.1°的角是周角的,1 rad的角是周角的 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度制表示的角都是正角 ◆ 探究点二 角度制与弧度制的互化 例2 (1)(多选题)下列转化结果正确的是 ( ) A.67°30'化成弧度是π rad B.-π化成度是-600度 C.-150°化成弧度是π rad D.化成度是15度 (2)已知α=15°,β=,γ=1,θ=105°,φ=,试比较α,β,γ,θ,φ的大小. 变式 (1)把下列角度化成弧度: ①-135°= ;②2100°= ; ③11°15'= ;④112°30'= . (2)把下列弧度化成角度: ①= ;②-= ; ③= ;④-= . ◆ 探究点三 用弧度制表示角 例3 已知α=-1125°. (1)将α写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出它是第几象限角; (2)求与α终边相同的角θ的集合,使得θ满足-4π≤θ<4π. 变式 (1)用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为 ( ) A. B. C. D. (2)把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,则使|θ|最小的θ的值是 . (3)用弧度制表示顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边在图中的阴影部分(不包括虚线边界,包括实线边界)的角θ的集 ... ...
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