5.2.2 同角三角函数的基本关系（课件 学案 练习）高中数学人教A版（2019）必修 第一册

5.2.2　同角三角函数的基本关系 【学习目标】 　　1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用. 　　2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. ◆ 知识点一　同角三角函数的基本关系 关系式 文字表述 平方 关系 sin2α+cos2α=　　　 同一个角α的正弦、余弦的　　　　等于　　　　 商数 关系 =　　　 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的　　　 ◆ 知识点二　同角三角函数基本关系式的常用变形 1.sin2α+cos2α=1的变形公式:sin2α=　　　　;cos2α=　　　　. 2.(sin α±cos α)2=　　　　　　　　　=　　　　　　. 3.tan α=的变形公式:sin α=　　　　;cos α=　　　　. 4.sin2α==;cos2α==. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)sin23α+cos23α=1. (　 ) (2)对任意角α,=tan都成立. (　 ) (3)若sin α=,则cos α=. (　 ) (4)已知sin αcos α=(0<α<π),则sin α+cos α=. (　 ) ◆ 探究点一　已知一个三角函数值求其他三角函数值(即sin θ,cos θ,tan θ知一求二) 例1 (1)已知α∈,tan α=2,求cos α,sin α的值. (2)已知cos α=-,求sin α,tan α的值. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式 (1)若tan α=-,cos α<0,则sin α= (　 ) A. B.- C. D.- (2)已知sin α=-,α是第三象限角,则cos α=　　　　,tan α=　　　　. [素养小结] 求三角函数值的方法 (1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方法求解: (2)已知tan θ求 sin θ(或cos θ)常用以下方法求解: 注:当角θ的范围不确定且涉及开方时,常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论. ◆ 探究点二　sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ知一求二 例2 已知sin θ+cos θ=(0<θ<π),求sin θcos θ和sin θ-cos θ的值. 变式 (1)[2024·太原高一期末] 已知θ∈(-π,0),且sin θ·cos θ=,则sin θ+cos θ= (　 ) A. B.- C. D.- (2)已知θ是第二象限角,sin θ,cos θ是关于x的方程3x2-x+t=0(t∈R)的两根,则cos θ-sin θ=　　　　. [素养小结] (1)sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α三个式子中,已知其中一个,可以求其他两个,即“知一求二”,它们之间的关系是(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. (2)求sin θ+cos θ或sin θ-cos θ的值时,要注意判断它们的符号. ◆ 探究点三　弦切互化求值 例3 已知tan α=3,求下列各式的值. (1); (2); (3)sin2α-2sin αcos α. 变式 [2024·杭高三校高一期末] 已知=-3. (1)求tan θ的值; (2)求的值. [素养小结] (1)已知tan α=m,可以求或的值,将分子分母同时除以cos α或cos2α,得到关于tan α的式子,从而达到求值的目的. (2)对于asin2α+bsin αcos α+ccos2α的求值,可看成分母是1,利用1=sin2α+cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α,得到关于tan α的式子,从而可以求值. ◆ 探究点四　三角函数式的化简与证明 角度1　一般三角函数式的化简 例4 (1)(1-cos α)　　　　; (2)sin2α+sin2αcos2α+cos4α=　　　　; (3)-=　　　　. [素养小结] 三角函数式的化简技巧: (1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的. (2)对于含有根号的式子,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低次数,达到化简的目的. 角度2　一般恒等式的证明 例5 求证:-=. 变式 已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1. [素养小结] 证明三角恒等式的实质是清除等式两端的差异,有目的地化简. 证明三角恒等式的基本原则:由繁到简. 常用方法:①从左向右证;②从右向左证;③左、右归一;④变更命题法,如要证明=,可证ad=bc,或证=等;⑤比较法, ... ...