1.4.1 一元二次函数 导学案（含答案） 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学必修第一册

1.4.1 一元二次函数 【学习目标】 1.理解二次函数的定义域、值域、单调性、对称性.(数学抽象) 2.能利用配方法或图象法掌握二次函数的重要性质.(直观想象) 3.会求二次函数在给定闭区间上的最大值与最小值.(数学运算) 【自主预习】 　　在初中，我们学习了一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，认识这个函数的过程是从y=x2开始的，是由简到繁的. 1.一元二次函数是由y=x2怎样变化得到的 2.什么是抛物线 3.一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点是什么 1.关于二次函数y=-2(x-2)2+1的图象，下列叙述不正确的是(　　). A.对称轴为直线x=2 B.顶点坐标为(-2，1) C.开口向下 D.与x轴有两个交点 2.(多选题)如图，这是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点(x1，0)，-30 B.2a+b=0 C.b2>4ac D.3b+2c>0 3.写出一个满足“当x>2时，y随x的增大而减小”的二次函数解析式：_____. 4.如图，在平面直角坐标系中，以A为顶点的抛物线y=ax2-4ax+3(a是常数，a>0)交y轴于点B，BC∥x轴交抛物线于另一点C. (1)求该抛物线的对称轴及点C的坐标； (2)直线y=kx-1(k是常数，k>0)经过A， C两点，求a，k的值. 【合作探究】 探究1　二次函数图象的变换规律 　　小明、小磊、小阳、小军画出的函数y=2x·(3-x)的图象如下： 问题1：你能说出谁画的图象正确吗 问题2：画二次函数的图象时，要重点体现抛物线的哪些图象特征 　　二次函数的图象变换及参数a，b，c，h，k对其图象的影响 (1)函数y=x2和函数y=ax2(a≠0)的图象之间的关系 二次函数y=ax2(a≠0)的图象可由y=x2的图象上各点的纵坐标变为原来的a倍得到.参数a的取值不同，函数及其图象也有区别，a决定了图象的开口方向和开口大小.当a>0时，二次函数y=ax2的图象开口向上，当a<0时，图象开口向下.而且，当a>0时，a的值越大，函数y=ax2的图象开口越小，a的值越小，函数y=ax2的图象开口越大；当a<0时，a的值越小，函数y=ax2的图象开口越小，a的值越大，函数y=ax2的图象开口越大.也就是说，|a|越大，抛物线的开口越小；反之，|a|越小，抛物线的开口越大. (2)函数y=ax2和函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图象之间的关系 函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图象可以由函数y=ax2(a≠0)的图象向左(h>0)或向右(h<0)平移|h|个单位长度，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位长度得到.h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”.可简记为“左加右减，上加下减”.由于只进行了图象的平移变换，所以函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图象与函数y=ax2(a≠0)的图象形状相同，只是位置不同. 例1　二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，便得到函数y=x2-2x+1的图象，则b=_____，c=_____. 【方法总结】平移变换不改变图象的形状，只改变图象在坐标系中的位置. ①在x轴上平移，即把x换成(x±h)(h>0，左加右减)； ②在y轴上平移，即在原解析式的基础上加(减)k(k>0，上加下减). 如何由函数y=x2-6x+6的图象得到函数y=x2的图象. 探究2　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质 　　某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为500吨，月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80 000，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元. 问题：该单位每月能否获利 如果获利，求出最大利润；如果不获利，那么需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损 　　一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质 (1)函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是一条抛物线，顶点坐标 ... ...