1.4.2 一元二次不等式及其解法 导学案（2课时）（含答案） 2025-2026学年北师大版（2019）高中数学必修第一册

1.4.2 课时1 一元二次不等式及其解法(一) 【学习目标】 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系，了解函数的零点与方程的根的关系.(数学抽象) 2.掌握用图象法解一元二次不等式.(直观想象) 3.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.(数学运算) 【自主预习】 1.不等式x2+>0是一元二次不等式吗 2.在一元二次不等式的一般形式中，“a≠0”可以省略吗 3.若二次函数y=x2-4的函数值大于零，如何求解 x的取值范围 4.一元二次函数与一元二次方程的解、一元二次不等式的解集有什么对应关系 1.不等式x2+2x-3>0的解集是(　　). A.{x|x<-3或x>1} B.{x|x<-1或x>3} C.{x|-13的解集是_____. 4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是_____. 【合作探究】 探究1　一元二次不等式的有关概念 　　观察下列不等式： (1)x2>0；(2)-x2-2x≤0；(3)x2-5x+6>0. 问题1：以上给出的3个不等式，它们含有几个未知数 未知数的最高次数是多少 问题2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点 1.一元二次不等式 我们把只含有_____未知数，并且未知数的_____的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0，或ax2+bx+c<0，或ax2+bx+c≥0，或ax2+bx+c≤0，其中a，b，c均为常数，且a≠0. 2.一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的_____，叫作这个一元二次不等式的_____，其解的_____，称为这个一元二次不等式的_____. 例1　给出下列关于x的不等式：①x2>0；②-x2-x≤5；③ax2>2；④x3+5x-6>0；⑤mx2-5y<0；⑥ax2+bx+c>0.其中一定是一元二次不等式的有(　　). A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【方法总结】判断一个不等式是否为一元二次不等式，应严格按照定义去判断，即未知数只有1个，未知数的最高次数是2，且最高次项的系数不能为0. 给出下列关于x的不等式： ①3x+4<0；②x2+mx-1>0； ③ax2+4x-7>0；④x2<0. 其中一定为一元二次不等式的有(　　). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 探究2　一元二次不等式的解法 　　已知一元二次函数y=x2-2x，一元二次方程x2-2x=0，一元二次不等式x2-2x>0. 问题1：试求情境中二次函数的图象与x轴的交点的坐标. 问题2：情境中一元二次方程的根是什么 问题3：问题1中点的坐标与问题2中的根有何内在联系 问题4：根据上述问题和函数图象，你能得到情境中一元二次不等式的解集吗 　　二次函数的图象与一元二次方程的根、不等式的解集的对应关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x10)的图象 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 _____ R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x10； (2)-3x2+6x-2>0； (3)x2-2x+2>0. 【方法总结】解一元二次不等式的一般步骤 (1)将不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的根的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实数根； (4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集. 解下列不等式： (1)4x2-4x+1>0； (2)-x2+6x-10>0. 探究3　解含参数的一元二次不等式 问题1：一元二次不等式的解集要写成什么形式 问题2：解不等式-x2+3x-2<0，第一步需要干什么 解不等式ax2+3x-2<0呢 　　解含参数的一元二次不等式的步骤：第一步，先处理二次项系数；第二步，通过分解因式或求根的判别式来确定一元二次方程有没有根；第三步，若有根，比较根的大小，写出解集，若无根，结合图象确定解集是R还是 . 在此过程中，当参数的存在导致二次函数的开口方向、判别式的 ... ...